Calcule a integral
integral triplaQ 3 x y^3 z^2 d V onde Q=(x, y, z) mid-1 <= x <= 3 ; raiz2 <= y <= raiz3 ; 0 <= z <= 1

Passo 1

Estamos calculando a integral tripla de 3 x y³ z² sobre o paralelepípedo Q definido por –1 ≤ x ≤ 3, √2 ≤ y ≤ √3 e 0 ≤ z ≤ 1; o conteúdo é integração de função separável em coordenadas cartesianas e vamos usar a propriedade de fatoração de integrais.

Passo 2

Como a função é produto de funções de x, y e z, separamos a integral:
integral triplaQ 3 x y^3 z^2 ,dV = l(integral-1^33x,dxr)timesl(integralraiz2^raiz3y^3,dyr)timesl(integral0^1z^2,dzr)

Passo 3

Calculamos a parte em x:
integral-1^33x,dx = 3[x^22]-1^3 = 3l(tfrac92-tfrac12r) = 3cdot4 = 12

Passo 4

Calculamos a parte em y:
integralraiz2^raiz3y^3,dy = [y^44]raiz2^raiz3 = (raiz3)^4-(raiz2)^44 = 9-44 = 54

Passo 5

Calculamos a parte em z:
integral0^1z^2,dz = [z^33]0^1 = 13

Passo 6

Multiplicando os resultados parciais: 12 \times \tfrac{5}{4} \times \tfrac{1}{3} = (12/3) \times (5/4) = 4 \times \tfrac{5}{4} = 5.

Resposta

5

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