Prove que no Corpo dos Números Complexos
, os números 0 é o único elemento neutro aditivo e o 1 é o único elementos neutro multiplicativo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando os axiomas de corpo, que em
o elemento
que satisfaz
para todo
é único, e que o elemento
que satisfaz
para todo
também é único.
Passo 2
Suponha que exista outro elemento aditivo neutro
em
, ou seja,
para todo
. Em particular, tomando
, temos
Mas pela definição de
como neutro,
implica que
. Logo, não há outro elemento além de
que seja neutro aditivo.
Passo 3
Do mesmo modo, suponha que exista outro elemento multiplicativo neutro
em
, ou seja,
para todo
. Tomando
obtemos
Pelo papel de
como neutro, isso força
. Portanto, não existe outro neutro multiplicativo além de
.
Resposta
O único elemento neutro aditivo em
é
e o único elemento neutro multiplicativo é
.