Prove que no Corpo dos Números Complexos C, os números 0 é o único elemento neutro aditivo e o 1 é o único elementos neutro multiplicativo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando os axiomas de corpo, que em C o elemento 0 que satisfaz 0+a=a para todo a é único, e que o elemento 1 que satisfaz 1cdot a=a para todo a também é único.

Passo 2

Suponha que exista outro elemento aditivo neutro e em C, ou seja, e+a=a para todo a. Em particular, tomando a=0, temos
e+0=0
Mas pela definição de e como neutro, e+0=0 implica que e=0. Logo, não há outro elemento além de 0 que seja neutro aditivo.

Passo 3

Do mesmo modo, suponha que exista outro elemento multiplicativo neutro u em C, ou seja, ucdot a=a para todo a. Tomando a=1 obtemos
ucdot 1 = 1
Pelo papel de u como neutro, isso força u=1. Portanto, não existe outro neutro multiplicativo além de 1.

Resposta

O único elemento neutro aditivo em C é 0 e o único elemento neutro multiplicativo é 1.

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