Decida se o par de funçÔes a seguir é Linearmente independente no intervalo
((0,1)) ou nĂŁo.
((y_{1}(t)=t e^{2 t})) e ((y_{2}(t)=e^{2 t}))

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções y₁(t)=t
e^{2t} e y₂(t)=e^{2t} são linearmente independentes no intervalo (0,1). O conteúdo aqui é independência linear de soluções de equações diferenciais e vamos usar o Wronskiano como teste.

Passo 2

Para ver se duas funções são linearmente independentes, a gente costuma calcular o Wronskiano W(t). Se W(t)≠0 em todo o intervalo, elas são independentes. O Wronskiano de y₁ e y₂ é definido por
W(t)=y₁(t)&y₂(t)y₁'(t)&y₂'(t)=y₁(t)y₂'(t)-y₂(t)y₁'(t)

Passo 3

Vamos primeiro derivar cada função. Para y₁(t)=t
e^{2t}, usando o produto temos
y₁'(t)=ddt(t)·e^2t+t·ddt(e^2t)=1·e^2t+t·2e^2t=e^2t(1+2t)
E para y₂(t)=e^{2t},
y₂'(t)=2e^2t

Passo 4

Substituindo no Wronskiano, temos
W(t)=t e^2t·(2e^2t)-e^2t·[e^2t(1+2t)]
que se simplifica assim:
W(t)=2t e^4t-(1+2t)e^4t=(2t-1-2t)e^4t=-e^4t

Passo 5

Como em (0,1) temos e^{4t}>0, segue que W(t)=-e^{4t} é sempre diferente de zero nesse intervalo. Pelo critério do Wronskiano, isso prova que y₁ e y₂ são linearmente independentes em (0,1).

Resposta

As funções são linearmente independentes no intervalo (0,1).

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