Decida se o par de funçÔes a seguir é Linearmente independente no intervalo
((0,1)) ou nĂŁo.
((y_{1}(t)=t e^{2 t})) e ((y_{2}(t)=e^{2 t}))
((0,1)) ou nĂŁo.
((y_{1}(t)=t e^{2 t})) e ((y_{2}(t)=e^{2 t}))
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as funções y₁(t)=t
e^{2t} e y₂(t)=e^{2t} são linearmente independentes no intervalo (0,1). O conteúdo aqui é independência linear de soluções de equações diferenciais e vamos usar o Wronskiano como teste.
e^{2t} e y₂(t)=e^{2t} são linearmente independentes no intervalo (0,1). O conteúdo aqui é independência linear de soluções de equações diferenciais e vamos usar o Wronskiano como teste.
Passo 2
Para ver se duas funções são linearmente independentes, a gente costuma calcular o Wronskiano W(t). Se W(t)≠0 em todo o intervalo, elas são independentes. O Wronskiano de y₁ e y₂ é definido por
Passo 3
Vamos primeiro derivar cada função. Para y₁(t)=t
e^{2t}, usando o produto temos
e^{2t}, usando o produto temos
E para y₂(t)=e^{2t},
Passo 4
Substituindo no Wronskiano, temos
que se simplifica assim:
Passo 5
Como em (0,1) temos e^{4t}>0, segue que W(t)=-e^{4t} é sempre diferente de zero nesse intervalo. Pelo critério do Wronskiano, isso prova que y₁ e y₂ são linearmente independentes em (0,1).
Resposta
As funções são linearmente independentes no intervalo (0,1).