Use o Princípio da Indução Matemática para provar que
sumk=1^n zk=sumk=1^n zk

Passo 1

O enunciado pede para provar que sumk=1^n zk=sumk=1^n zk usando indução matemática. Vamos precisar da propriedade de conjugação de soma: z+w=z+w.

Passo 2

Para o caso base n=1, temos
sumk=1^1 zk=z1
sumk=1^1 zk=z1
Logo, a igualdade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum n>=1 valha
sumk=1^n zk=sumk=1^n zk

Passo 4

Passo de indução: queremos mostrar que a igualdade vale para n+1. Começamos com
sumk=1^n+1 zk=sumk=1^n zk+zn+1
Pela propriedade de conjugação de soma,
sumk=1^n zk+zn+1=sumk=1^n zk+zn+1
Usando a hipótese de indução em sumk=1^n zk, obtemos
sumk=1^n zk+zn+1=sumk=1^n+1 zk
Assim a fórmula vale para n+1.

Passo 5

Pelo princípio da indução matemática, concluímos que
ninN
é verdadeira para todo .

Resposta

A identidade sumk=1^n zk=sumk=1^n zk vale para todo ninN.

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