Use o Princípio da Indução Matemática para provar que
Passo 1
O enunciado pede para provar que
sumk=1^n zk=sumk=1^n zk usando indução matemática. Vamos precisar da propriedade de conjugação de soma:
z+w=z+w .
Passo 2
Para o caso base
n=1 , temos
Logo, a igualdade vale para
n=1 .
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
n>=1 valha
Passo 4
Passo de indução: queremos mostrar que a igualdade vale para
n+1 . Começamos com
Pela propriedade de conjugação de soma,
Usando a hipótese de indução em
sumk=1^n zk , obtemos
Assim a fórmula vale para
n+1 .
Passo 5
Pelo princípio da indução matemática, concluímos que
ninN
é verdadeira para todo .
é verdadeira para todo
Resposta
A identidade
sumk=1^n zk=sumk=1^n zk vale para todo
ninN .