Calcule integral triplar f d V, onde T é delimitada por y=0, y+x=2, z=x^2+y^2 e z=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral triplaT dV, ou seja, o volume do sólido T limitado pelas superfícies y=0, x+y=2, z=0 e z=x^2+y^2. Vamos usar integrais triplas e projetar em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Para encontrar o volume, lembramos que integral triplaT dV=integral duplaDl(zsup(x,y)-zinf(x,y)r),dA. Aqui zsup=x^2+y^2 e zinf=0, logo o volume é integral duplaD(x^2+y^2),dA.
Precisamos identificar a projeção D de T no plano xy. As fronteiras dadas são y=0, x=0 (assumido para fechar o domínio no primeiro quadrante) e x+y=2. Assim, D=(x,y):0<= x<=2,;0<= y<=2-x.

Passo 3

Montamos a integral iterada em ordem dy,dx:
integral triplaT dV=integralx=0^2integraly=0^2-xintegralz=0^x^2+y^2dz,dy,dx =integral0^2integral0^2-x(x^2+y^2),dy,dx

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em y:
integral0^2-x(x^2+y^2),dy=x^2(2-x)+(2-x)^33

Passo 5

Agora integramos em x:
integral0^2l[x^2(2-x)+(2-x)^33r]dx =integral0^2(2x^2-x^3)dx+13integral0^2(2-x)^3dx

Passo 6

Avaliamoas separadamente:
integral0^2(2x^2-x^3)dx=43, $$
\int_02(2-x)3dx=4,
$$então o segundo termo é integral0^2(2-x)^3dx=4, .
Somando os resultados temos tfrac43.

Resposta

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