Calcule
, onde
é delimitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, ou seja, o volume do sólido
limitado pelas superfícies
,
,
e
. Vamos usar integrais triplas e projetar em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Para encontrar o volume, lembramos que
. Aqui
e
, logo o volume é
.
Precisamos identificar a projeção de
no plano
. As fronteiras dadas são
,
(assumido para fechar o domínio no primeiro quadrante) e
. Assim,
.
Precisamos identificar a projeção
Passo 3
Montamos a integral iterada em ordem
:
Passo 4
Calculamos primeiro a integral em
:
Passo 5
Agora integramos em
:
Passo 6
Avaliamoas separadamente:
\int_02(2-x)3dx=4,
$$então o segundo termo é
.
Somando os resultados temos .
Somando os resultados temos