Calcule.
integral triplaR u^2 v^2 w d u d v d w, onde R é a região dada por u^2+v^2 <= 1 e 0 <= w <= 1.

Passo 1

O enunciado pede calcular o integral triplo
integral triplaR u^2v^2w ,du,dv,dw
onde R é o cilindro com u^2+v^2<=1 no plano uv e 0<= w<=1. O conteúdo envolve integração múltipla e mudança para coordenadas polares no plano uv.

Passo 2

Como as variáveis u,v aparecem somente em u^2v^2 e w só em fator separado, podemos separar a integral em duas partes:
integral triplaRu^2v^2w,du,dv,dw =integral duplau^2+v^2<=1u^2v^2,du,dv ;times;integral0^1w,dw

Passo 3

Calcule a parte em w:
integral0^1w,dw=l[tfracw^22r]0^1=tfrac12

Passo 4

Passe para coordenadas polares no plano uv:
u=rcostheta, v=rsintheta, du,dv=r,dr,dtheta,
e
u^2v^2=(rcostheta)^2(rsintheta)^2 =r^4cos^2thetasin^2theta
Logo,
integral duplau^2+v^2<=1u^2v^2,du,dv =integral0^2pi!integral0^1r^4cos^2thetasin^2theta;r,dr,dtheta =integral0^2picos^2thetasin^2theta,dtheta ;times;integral0^1r^5,dr

Passo 5

Calcule a parte radial:
integral0^1r^5,dr=l[tfracr^66r]0^1=tfrac16

Passo 6

Calcule a parte angular usando
cos^2thetasin^2theta =tfrac14sin^2(2theta) =tfrac18l(1-cos4thetar),
então
integral0^2picos^2thetasin^2theta,dtheta =tfrac18integral0^2pi(1-cos4theta),dtheta =tfrac18l[2pi-0r] =tfracpi4

Passo 7

Combine os resultados da parte em u,v:
integral duplau^2+v^2<=1u^2v^2,du,dv =tfrac16timestfracpi4 =tfracpi24
Multiplicando pelo fator da parte em w que é tfrac12, obtemos
integral triplaRu^2v^2w,du,dv,dw =tfracpi24timestfrac12 =tfracpi48

Resposta

pi48

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