Calcule.
integral triplaR f d x d y d z, onde f(x, y, z)=2 x-y-z e R é o conjunto descrito pelas desigualdades 0 <= x <= 1,0 <= y <= x^2 e 0 <= z <= x+y.

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular
integral triplaR(2x - y - z),dx,dy,dz
onde
R=(x,y,z)mid 0<= x<=1,;0<= y<= x^2,;0<= z<= x+y
O plano de ataque é usar integração iterada na ordem dz, depois dy e por fim dx.

Passo 2

Integramos primeiro em z:
integral0^,x+y(2x - y - z),dz
Calculando:
integral(2x - y - z),dz=(2x-y),z-z^22
avaliado de 0 a x+y
(2x-y)(x+y)-tfrac12(x+y)^2 =2x^2+xy-y^2-tfrac12(x^2+2xy+y^2) =tfrac32(x^2-y^2)

Passo 3

Agora integramos em y:
integral0^,x^2tfrac32l(x^2-y^2r),dy =tfrac32l[;x^2y-tfracy^33r]0^x^2 =tfrac32l(x^4-tfracx^63r) =tfrac32x^4-tfrac12x^6

Passo 4

Por fim, integramos em x:
integral0^1l(tfrac32x^4-tfrac12x^6r),dx =tfrac32cdottfrac15-tfrac12cdottfrac17 =tfrac310-tfrac114 =tfrac835

Resposta

835

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