Calcule integral triplaR(x+y+z) d V, onde R é o sólido que está dentro do cilindro x^2+y^2=4, acima do plano z=0 e abaixo de z=raiz4 x^2+4 y^2.

Passo 1

Temos um triplo integral integral triplaR(x+y+z),dV, onde R é o sólido descrito por x^2+y^2<=4, 0<= z<=raiz4x^2+4y^2. O conteúdo é integração em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas usamos as substituições x=rcostheta, y=rsintheta, z=z e dV=r,dr,dtheta,dz.
Os limites ficam: r de 0 a 2 (pois x^2+y^2<=4 r<=2), theta de 0 a 2pi, e z de 0 a 2r (já que raiz4(x^2+y^2)=2r).

Passo 3

A integral vira
integral0^2piintegral0^2integral0^2r(rcostheta+rsintheta+z),r,dz,dr,dtheta
Podemos separar em três integrais: dos termos rcostheta, rsintheta e z.
As parcelas com rcostheta e rsintheta são nulas porque
integral0^2picostheta,dtheta=0, integral0^2pisintheta,dtheta=0

Passo 4

Fica só a parte de z:
integral0^2pidthetaintegral0^2integral0^2rz,r,dz,dr =2piintegral0^2rl[tfrac12z^2r]0^2rdr =2piintegral0^2rcdot2r^2,dr =2piintegral0^22r^3,dr =2picdot8 =16pi

Passo 5

Portanto o valor do integral é calculado.

Resposta

16\pi

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