Esboce as curvas dadas pelas equações paramétricas abaixo, indicando a orientação. Obtenha também a equação cartesiana de cada curva.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um par de equações paramétricas que usam funções trigonométricas, especificamente o cosseno e a função cotangente. Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessas curvas, mostrar como elas se movem (a orientação) e também transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana, que é aquela que relaciona diretamente $ y $ com $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que temos:
Aqui, $ \csc t $ é a função secante, que é o inverso do seno, ou seja, $ \csc t = \frac{1}{\sin t} $, e $ \cot t $ é a cotangente, que é o cosseno sobre o seno, $ \cot t = \frac{\cos t}{\sin t} $.
Passo 3
Nosso próximo passo é encontrar uma relação direta entre $ x $ e $ y $, eliminando o parâmetro $ t $. Para isso, vamos resolver uma das equações para $ t $ e substituir na outra.
Vamos começar rearranjando a equação de $ y(t) $:
Sabemos que $ \cot t = \frac{\cos t}{\sin t} $. Mas também sabemos que $ \cot t = \frac{1}{\tan t} $, e que $ \csc t = \frac{1}{\sin t} $. Isso nos ajuda a relacionar $ x $ com $ y $.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a equação de $ x(t) $:
Podemos isolar $ \sin t $:
Passo 5
Voltando à expressão de $ \cot t $:
Sabemos que $ \cos t = \sqrt{1 - \sin^2 t} $ (considerando o quadrante adequado para $ t $).
Substituindo $ \sin t $ pela expressão que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 7
Finalmente, rearranjando para obter a equação cartesiana:
Podemos simplificar mais se necessário, mas essa já é uma forma cartesiana que relaciona $ x $ e $ y $.
Resposta
A equação cartesiana da curva é $ (x - 1)^2 = 4(y + 2)^2 + 4 $. Além disso, ao esboçar as curvas paramétricas dadas, a orientação segue os intervalos de $ t $ especificados, garantindo que o gráfico reflete corretamente os valores dentro de $ \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) $.