Esboce as curvas dadas pelas equações paramétricas abaixo, indicando a orientação. Obtenha também a equação cartesiana de cada curva.
x(t)=1+2 csc t, y(t)=-2+cot t, t in(0, pi2) cup(pi, 3 pi2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um par de equações paramétricas que usam funções trigonométricas, especificamente o cosseno e a função cotangente. Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessas curvas, mostrar como elas se movem (a orientação) e também transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana, que é aquela que relaciona diretamente $ y $ com $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que temos:
x(t) = 1 + 2 csc t
y(t) = -2 + cot t
Aqui, $ \csc t $ é a função secante, que é o inverso do seno, ou seja, $ \csc t = \frac{1}{\sin t} $, e $ \cot t $ é a cotangente, que é o cosseno sobre o seno, $ \cot t = \frac{\cos t}{\sin t} $.

Passo 3

Nosso próximo passo é encontrar uma relação direta entre $ x $ e $ y $, eliminando o parâmetro $ t $. Para isso, vamos resolver uma das equações para $ t $ e substituir na outra.
Vamos começar rearranjando a equação de $ y(t) $:
x
Sabemos que $ \cot t = \frac{\cos t}{\sin t} $. Mas também sabemos que $ \cot t = \frac{1}{\tan t} $, e que $ \csc t = \frac{1}{\sin t} $. Isso nos ajuda a relacionar $ x $ com $ y $.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a equação de $ x(t) $:
x(t)
Podemos isolar $ \sin t $:
x = 1 + 2 csc t = 1 + 2sin t

Passo 5

Voltando à expressão de $ \cot t $:
cot t
Sabemos que $ \cos t = \sqrt{1 - \sin^2 t} $ (considerando o quadrante adequado para $ t $).
Substituindo $ \sin t $ pela expressão que encontramos:
cot t = y + 2 = cos tsin t

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
y + 2 = (x - 1)raiz(x - 1)^2 - 42(x - 1) = raiz(x - 1)^2 - 42
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(y + 2)^2 = (x - 1)^2 - 44 Rightarrow 4(y + 2)^2 = (x - 1)^2 - 4

Passo 7

Finalmente, rearranjando para obter a equação cartesiana:
(x - 1)^2 = 4(y + 2)^2 + 4
Podemos simplificar mais se necessário, mas essa já é uma forma cartesiana que relaciona $ x $ e $ y $.

Resposta

A equação cartesiana da curva é $ (x - 1)^2 = 4(y + 2)^2 + 4 $. Além disso, ao esboçar as curvas paramétricas dadas, a orientação segue os intervalos de $ t $ especificados, garantindo que o gráfico reflete corretamente os valores dentro de $ \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) $.

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