Seja a curva definida pelas equações paramétricas
Obtenha a equação da reta tangente à curva C no ponto (-179, 173,-1).
Passo 1
Beleza, vamos começar! A gente tem uma curva C definida pelas equações paramétricas:
x(t) = t^2 - 2 y(t) = 5 - 2t z(t) = -1
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto específico (-179, 173, -1). Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e vetores tangentes em curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual valor de t corresponde ao ponto dado (-179, 173, -1). Isso significa que devemos resolver as equações paramétricas para encontrar t que satisfaça:
x(t) = -179, y(t) = 173, z(t) = -1
Vamos começar com z(t), que é constante:
z(t) = -1 Rightarrow Isso já está satisfeito para qualquer t áá
Então, o valor de t que corresponde ao ponto dado é t = -13.
Passo 3
Agora que temos t = -13, vamos encontrar o vetor tangente à curva nesse ponto. Para isso, precisamos calcular as derivadas das funções x(t) e y(t) em relação a t:
Com o ponto (-179, 173, -1) e o vetor tangente (-23, -2, 0), podemos escrever a equação da reta tangente. A equação paramétrica de uma reta que passa por um ponto P(x0, y0, z0) com direção definida por um vetor v(a, b, c) é:
x = x0 + a cdot lambda y = y0 + b cdot lambda z = z0 + c cdot lambda
Onde lambda é o parâmetro.
Resposta
Então, substituindo os valores, a equação da reta tangente é: