Seja C a curva definida pelas equações paramétricas lx(t)=t^2-2 y(t)=5-2 t,-3 <= t <= 4 Pede-se: z(t)=-1
Obtenha a equação da reta tangente à curva C no ponto (-179, 173,-1).

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente tem uma curva C definida pelas equações paramétricas:
x(t) = t^2 - 2 y(t) = 5 - 2t z(t) = -1
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto específico (-179, 173, -1). Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e vetores tangentes em curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual valor de t corresponde ao ponto dado (-179, 173, -1). Isso significa que devemos resolver as equações paramétricas para encontrar t que satisfaça:
x(t) = -179, y(t) = 173, z(t) = -1
Vamos começar com z(t), que é constante:
z(t) = -1 Rightarrow Isso já está satisfeito para qualquer t áá
Agora, vamos para x(t):
t^2 - 2 = -179 t^2 = -179 + 2 = -179 + 189 = 19 t = pm 13
Vamos verificar qual desses valores de t também satisfaz y(t) = 173:
y(t) = 5 - 2t = 173 5 - 2t = 173 -2t = 173 - 5 = 173 - 153 = 23 t = -23 times 12 = -13
Então, o valor de t que corresponde ao ponto dado é t = -13.

Passo 3

Agora que temos t = -13, vamos encontrar o vetor tangente à curva nesse ponto. Para isso, precisamos calcular as derivadas das funções x(t) e y(t) em relação a t:
dxdt = 2t dydt = -2 dzdt = 0
Avaliar essas derivadas em t = -13:
dxdt|t=-13 = 2 times (-13) = -23 dydt|t=-13 = -2 dzdt|t=-13 = 0
Portanto, o vetor tangente é (-23, -2, 0).

Passo 4

Com o ponto (-179, 173, -1) e o vetor tangente (-23, -2, 0), podemos escrever a equação da reta tangente. A equação paramétrica de uma reta que passa por um ponto P(x0, y0, z0) com direção definida por um vetor v(a, b, c) é:
x = x0 + a cdot lambda y = y0 + b cdot lambda z = z0 + c cdot lambda
Onde lambda é o parâmetro.

Resposta

Então, substituindo os valores, a equação da reta tangente é:
x = -179 - 23 lambda y = 173 - 2 lambda z = -1

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