Esboce as curvas dadas pelas equações paramétricas abaixo, indicando a orientação. Obtenha também a equação cartesiana de cada curva.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar as curvas definidas pelas equações paramétricas $ x(t) = \cos^{2} t $ e $ y(t) = \sin^{2} t $, além de indicar a direção em que a curva é traçada. Também precisamos transformar essas equações paramétricas em uma única equação cartesiana. Pra isso, vamos usar conhecimentos de trigonometria e manipulação algébrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são equações paramétricas. Elas expressam as coordenadas $ x $ e $ y $ em função de um parâmetro, que aqui é o $ t $. Nosso objetivo é eliminar o parâmetro $ t $ para conseguir uma relação direta entre $ x $ e $ y $.
Passo 3
Sabemos que, pela identidade trigonométrica, $ \cos^{2} t + \sin^{2} t = 1 $. Vamos usar isso para relacionar $ x $ e $ y $.
Passo 4
Substituindo as equações paramétricas na identidade trigonométrica:
Então, a equação cartesiana é:
Passo 5
Agora, vamos interpretar essa equação cartesiana. Ela representa uma reta no plano $ xy $ que passa pelos pontos onde $ x = 0 $ e $ y = 1 $, e onde $ y = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 6
Para esboçar a curva, desenhamos essa reta no plano cartesiano. A orientação depende de como $ t $ varia. Quando $ t $ aumenta, $ \cos^{2} t $ e $ \sin^{2} t $ oscilam entre 0 e 1, mas $ x + y $ sempre será 1. Assim, a direção da curva segue de $ (1,0) $ para $ (0,1) $ e vice-versa à medida que $ t $ varia.
Resposta
A equação cartesiana da curva é $ x + y = 1 $. A curva é uma reta que vai do ponto $ (1,0) $ ao $ (0,1) $, indicando orientação nesse sentido conforme $ t $ varia.