Calcule integral triplaS z raizx^2+y^2 d x d y d z, S=(x, y, z): x^2+y^2 <= 1,0 <= z <= 4.

Passo 1

O exercício pede para calcular o triplo integral integral triplaS zraizx^2+y^2,dx,dy,dz, onde a região S é o cilindro reto x^2+y^2<=1 com 0<= z<=4. O conteúdo é integração tripla e vamos usar coordenadas cilíndricas para simplificar.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas usamos as substituições x=rcostheta, y=rsintheta e z=z. O jacobiano dessa transformação é r, e além disso raizx^2+y^2=r.

Passo 3

Substituindo no integrando e no elemento de volume temos:
zraizx^2+y^2,dx,dy,dz = z,rtimes (r,dr,dtheta,dz) = z,r^2,dr,dtheta,dz

Passo 4

Agora escrevemos o integral nos limites cilíndricos:
integraltheta=0^2piintegralr=0^1integralz=0^4 z,r^2,dz,dr,dtheta

Passo 5

Integramos primeiro em z:
integral0^4 z,dz = l[z^22r]0^4 = 162 = 8
Isso deixa
integral0^2piintegral0^1 8,r^2,dr,dtheta

Passo 6

Agora em r:
8integral0^1 r^2,dr = 8 l[r^33r]0^1 = 83
E por fim em theta:
integral0^2pi 83,dtheta = 83times 2pi = 16pi3

Resposta

16pi3

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