Calcule integral triplaS raizx^2+y^2+z^2 d V, onde S é o sólido acima do cone z=-raiz3 x^2+3 y^2 e interior à esfera x^2+y^2+z^2=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular I=integral triplaS raizx^2+y^2+z^2,dV, onde S é a parte do interior da esfera x^2+y^2+z^2=4 que fica acima do cone z=-raiz3(x^2+y^2). Vamos usar coordenadas esféricas para simplificar.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com elemento de volume
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
e integrando raizx^2+y^2+z^2=rho. Para achar o limite em phi, note que o cone é
z=-raiz3(x^2+y^2) Longrightarrow rhocosphi=-raiz3,rhosinphi
que simplifica para
cosphi+raiz3sinphi>=0 Longrightarrow phi<=tfrac2pi3
Além disso 0<=rho<=2 e 0<=theta<=2pi.

Passo 3

A integral em esféricas fica
I=integral0^2pi!integral0^2pi/3!integral0^2 rhotimesrho^2sinphi,drho,dphi,dtheta =integral0^2pidthetaintegral0^2pi/3sinphi,dphiintegral0^2rho^3,drho

Passo 4

Calculando cada parte:
integral0^2 rho^3,drho=rho^44|0^2=4,
integral0^2pi/3sinphi,dphi=-cosphi|0^2pi/3=32,
integral0^2pidtheta=2pi
Multiplicando: I=2pitimestfrac32times4=12pi

Resposta

12\pi

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