Calcule o volume do elipsóide x^2+y^2+4 z^2 <= 4.

Passo 1

Neste exercício a gente quer achar o volume do elipsóide dado por x^2 + y^2 + 4z^2 <= 4. O conteúdo é volume de um sólido reconocendo que é um elipsóide, e vamos precisar reescrever a equação na forma padrão e usar a fórmula V = tfrac43pi a b c.

Passo 2

Primeiro, dividimos a desigualdade x^2 + y^2 + 4z^2 <= 4 por 4 para colocar na forma x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 <= 1. Assim obtemos
x^24 + y^24 + z^21 <= 1
Isso mostra que os semi-eixos do elipsóide são a=2, b=2 e c=1.

Passo 3

Em seguida, lembramos que o volume de um elipsóide com semi-eixos a, b e c é dado por
V = 43pi,a,b,c
Essa fórmula vem do resultado geral para volumes de esferas e elipsóides, obtido por transformação linear a partir de uma esfera unitária.

Passo 4

Para finalizar, substituímos a=2, b=2 e c=1 na fórmula:
V = 43pi times 2 times 2 times 1 = 163pi
Então esse é o volume do elipsóide.

Resposta

16pi3

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