Calcule as seguintes integrais:
integral duplaR x y e^y^2 x d x d y, onde R=[0, ln 2] times[0,1]

Passo 1

Nesse exercício, a gente precisa calcular a integral dupla integral duplaR x y e^y^2 x,dx,dy, onde R=[0,ln2]times[0,1]. O conteúdo principal envolve: integrar primeiro em x usando integração por partes e depois em y, percebendo uma derivada escondida para facilitar.

Passo 2

Vamos integrar em x mantendo y fixo. Definimos:
u = x e dv = e^y^2 x,dx. Então du = dx e
v = integral e^y^2 x,dx = e^y^2 xy^2
Pela fórmula de partes integral u,dv = uv - integral v,du, temos:
integral x e^y^2 x,dx = x e^y^2 xy^2 - integral e^y^2 xy^2,dx = x e^y^2 xy^2 - e^y^2 xy^4 + C

Passo 3

Agora multiplicamos por y (pois o integrando é x y e^y^2 x) e avaliamos x de 0 a ln2. Ou seja,
$$F(y)=\int_{0}^{\ln2} x y e{y2 x},dx = \left[\frac{x e{y2 x}}{y} - \frac{e{y2 x}}{y3}\right]_{0}{\ln2}.
F(y)=integral0^ln2 x y e^y^2 x,dx = [x e^y^2 xy - e^y^2 xy^3]0^ln2 F(y)=\ln2\frac{2{y2}}{y} - \frac{2{y2}}{y^3} + \frac{1}{y^3}.
$$

Passo 4

Em seguida precisamos calcular
$$I=\int_{0}^{1}F(y),dy = \int_{0}{1}\Bigl(\ln2\frac{2{y^2}}{y} - \frac{2{y2}}{y^3} + \frac{1}{y^3}\Bigr)dy.
$$
Note que cada termo isolado diverge em 0, mas ao somar eles, o comportamento singular se anula. Para resolver sem complicar, percebemos que existe uma primitiva simples:

Passo 5

Observe que, se definirmos
f(y)=2^y^2-1y^2,
então, por derivar e usar regra do quociente, obtém-se
$$f’(y)=2\Bigl(\ln2\frac{2{y2}}{y}-\frac{2{y2}}{y3}+\frac{1}{y3}\Bigr).
f'(y)=2l(ln22^y^2y-2^y^2y^3+1y^3r) \ln2\frac{2{y2}}{y}-\frac{2{y2}}{y3}+\frac{1}{y3} = \frac{f’(y)}{2}.
$$

Passo 6

Portanto
$$I=\int_{0}^{1}\frac{f’(y)}{2},dy = \frac{1}{2}\bigl(f(1)-f(0)\bigr).
I=integral0^1f'(y)2,dy = 12l(f(1)-f(0)r) f(1)=\frac{21-1}{12}=1,$$
f(1)=2^1-11^2=1,ã
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limyto0f(y)=limyto0e^y^2ln2-1y^2=ln2(expansão e^y^2ln2approx1+y^2ln2)

Resposta

1-ln22

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