Calcule as seguintes integrais:
, onde
Passo 1
Nesse exercício, a gente precisa calcular a integral dupla
, onde
. O conteúdo principal envolve: integrar primeiro em
usando integração por partes e depois em
, percebendo uma derivada escondida para facilitar.
Passo 2
Vamos integrar em
mantendo
fixo. Definimos:
e
. Então
e
Pela fórmula de partes
Passo 3
Agora multiplicamos por
(pois o integrando é
) e avaliamos
de 0 a
. Ou seja,
$$F(y)=\int_{0}^{\ln2} x y e{y2 x},dx = \left[\frac{x e{y2 x}}{y} - \frac{e{y2 x}}{y3}\right]_{0}{\ln2}.
$$
Passo 4
Em seguida precisamos calcular
$$I=\int_{0}^{1}F(y),dy = \int_{0}{1}\Bigl(\ln2\frac{2{y^2}}{y} - \frac{2{y2}}{y^3} + \frac{1}{y^3}\Bigr)dy.
$$
Note que cada termo isolado diverge em 0, mas ao somar eles, o comportamento singular se anula. Para resolver sem complicar, percebemos que existe uma primitiva simples:
Note que cada termo isolado diverge em 0, mas ao somar eles, o comportamento singular se anula. Para resolver sem complicar, percebemos que existe uma primitiva simples:
Passo 5
Observe que, se definirmos
então, por derivar e usar regra do quociente, obtém-se
$$f’(y)=2\Bigl(\ln2\frac{2{y2}}{y}-\frac{2{y2}}{y3}+\frac{1}{y3}\Bigr).
$$
Passo 6
Portanto
$$I=\int_{0}^{1}\frac{f’(y)}{2},dy = \frac{1}{2}\bigl(f(1)-f(0)\bigr).
Logo