Calcule integral triplaT z d V onde T é a região interior às superfícies z=14(x^2+y^2) e x^2+y^2+z^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaT z , dV, onde T é a região dentro das superfícies z = 14(x^2 + y^2) (uma parábola) e x^2 + y^2 + z^2 = 9 (uma esfera). Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam a integração em regiões com simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que definem T. A superfície z = 14(x^2 + y^2) é uma parábola que abre para cima. Já a equação x^2 + y^2 + z^2 = 9 representa uma esfera de raio 3 centrada na origem.

Passo 3

Para descobrir os limites de integração, vamos encontrar a interseção dessas duas superfícies. Substituindo z da parábola na equação da esfera:
x^2 + y^2 + (14(x^2 + y^2))^2 = 9
Isso simplifica para r^2 + 116r^4 = 9, onde r^2 = x^2 + y^2.

Passo 4

Vamos resolver r^2 + 116r^4 = 9:
Multiplicando tudo por 16 para eliminar a fração:
16r^2 + r^4 = 144
Rearranjando:
r^4 + 16r^2 - 144 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática em r^2:
r^2 = -16 pm raiz256 + 5762 = -16 pm raiz8322 = -16 pm 8raiz132 = -8 pm 4raiz13
Como r^2 não pode ser negativo, temos:
r^2 = -8 + 4raiz13 implies r = raiz-8 + 4raiz13 approx 2
Então, o raio máximo r é aproximadamente 2.

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral tripla em coordenadas cilíndricas (r, theta, z):
integral triplaT z , dV = integral0^2pi integral0^2 integral14r^2^raiz9 - r^2 z cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, z varia da parábola 14r^2 até a esfera raiz9 - r^2, r vai de 0 a 2, e theta de 0 a 2pi.

Passo 6

Vamos resolver a integral em z primeiro:
integral14r^2^raiz9 - r^2 z , dz = [ 12z^2 ]14r^2^raiz9 - r^2 = 12(9 - r^2) - 12(116r^4) = 9 - r^22 - r^432

Passo 7

Agora, substituímos essa expressão na integral e integramos em r:
integral0^2 ( 9 - r^22 - r^432 ) cdot r , dr = integral0^2 ( 9r - r^32 - r^532 ) dr
Integrando termo a termo:
92 cdot r^22 - 12 cdot r^44 - 132 cdot r^66 g|0^2 = 94r^2 - 18r^4 - 1192r^6 g|0^2
Substituindo r = 2:
94(4) - 18(16) - 1192(64) = 9 - 2 - 13 = 7 - 13 = 203

Passo 8

Finalmente, integramos em theta:
integral0^2pi 203 , dtheta = 203 cdot 2pi = 40pi3

Resposta

A integral tripla integral triplaT z , dV vale 40pi3.

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