Calcule onde é a região interior às superfícies e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde é a região dentro das superfícies (uma parábola) e (uma esfera). Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam a integração em regiões com simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que definem . A superfície é uma parábola que abre para cima. Já a equação representa uma esfera de raio 3 centrada na origem.
Passo 3
Para descobrir os limites de integração, vamos encontrar a interseção dessas duas superfícies. Substituindo da parábola na equação da esfera:
Isso simplifica para , onde .
Passo 4
Vamos resolver :
Multiplicando tudo por 16 para eliminar a fração:
Rearranjando:
Vamos resolver essa equação quadrática em :
Como não pode ser negativo, temos:
Então, o raio máximo é aproximadamente 2.
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral tripla em coordenadas cilíndricas :
Aqui, varia da parábola até a esfera , vai de 0 a 2, e de 0 a .
Passo 6
Vamos resolver a integral em primeiro:
Passo 7
Agora, substituímos essa expressão na integral e integramos em :