Um número a chama-se valor de aderência da seqüência (xn) quando é limite de uma subseqüência de (xn). Para cada um dos conjuntos A, B e C abaixo ache uma seqüência que o tenha como conjunto dos seus valores de aderência. A=1,2,3, B=N, C=[0,1].

Passo 1

O enunciado quer que a gente construa três sequências reais cujos conjuntos de valores de aderência (ou pontos-limite) sejam exatamente A, B e C. Lembre que “valor de aderência” de uma sequência é todo número que aparece como limite de alguma subsequência.

Passo 2

Para A = {1,2,3}, basta fazer uma sequência que repita 1, 2 e 3 infinitas vezes em ciclo. Por exemplo, defina
xn=1&se nequiv1pmod3,2&se nequiv2pmod3,3&se nequiv0pmod3
Cada um dos valores 1, 2 e 3 aparece infinitas vezes, logo há subsequências convergindo a cada um deles, e não aparecem outros limites.

Passo 3

Para B = ℕ, precisamos de uma sequência que liste todos os naturais infinite-as vezes. Uma forma clássica é aninhar ciclos crescentes: para cada k ≥ 1, liste 1,2,…,k. Mais formalmente, para n tal que n = k(k−1)/2 + i com 1 ≤ i ≤ k, defina x_n = i. Assim, cada natural i reaparece em todos os ciclos com k ≥ i, garantindo que i é valor de aderência, e não há outros limites além dos naturais.

Passo 4

Para C = [0,1], aproveitamos que ℚ∩[0,1] é enumerável e denso em [0,1]. Seja (q_n)_{n≥1} uma enumeração de ℚ∩[0,1]. Para n = k(k−1)/2 + i com 1 ≤ i ≤ k, defina x_n = q_i. Dessa forma cada racional q_i reaparece em todos os ciclos k ≥ i, garantindo que todo ponto em [0,1] (fechamento dos racionais) é valor de aderência, e não sai fora de [0,1].

Resposta

Para A: defina
xn=1&se nequiv1pmod3,2&se nequiv2pmod3,3&se nequiv0pmod3
Para B: para n escrito como n = k(k-1)/2 + i, 1 ≤ i ≤ k, defina
xn = i
Para C: seja (q_n)_{n≥1} enumeração de ℚ∩[0,1]. Para n = k(k-1)/2 + i, 1 ≤ i ≤ k, defina
xn = qi

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