Um número a chama-se valor de aderência da seqüência
quando é limite de uma subseqüência de
. Para cada um dos conjuntos
e
abaixo ache uma seqüência que o tenha como conjunto dos seus valores de aderência.
,
.
Passo 1
O enunciado quer que a gente construa três sequências reais cujos conjuntos de valores de aderência (ou pontos-limite) sejam exatamente A, B e C. Lembre que “valor de aderência” de uma sequência é todo número que aparece como limite de alguma subsequência.
Passo 2
Para A = {1,2,3}, basta fazer uma sequência que repita 1, 2 e 3 infinitas vezes em ciclo. Por exemplo, defina
Cada um dos valores 1, 2 e 3 aparece infinitas vezes, logo há subsequências convergindo a cada um deles, e não aparecem outros limites.
Passo 3
Para B = ℕ, precisamos de uma sequência que liste todos os naturais infinite-as vezes. Uma forma clássica é aninhar ciclos crescentes: para cada k ≥ 1, liste 1,2,…,k. Mais formalmente, para n tal que n = k(k−1)/2 + i com 1 ≤ i ≤ k, defina x_n = i. Assim, cada natural i reaparece em todos os ciclos com k ≥ i, garantindo que i é valor de aderência, e não há outros limites além dos naturais.
Passo 4
Para C = [0,1], aproveitamos que ℚ∩[0,1] é enumerável e denso em [0,1]. Seja (q_n)_{n≥1} uma enumeração de ℚ∩[0,1]. Para n = k(k−1)/2 + i com 1 ≤ i ≤ k, defina x_n = q_i. Dessa forma cada racional q_i reaparece em todos os ciclos k ≥ i, garantindo que todo ponto em [0,1] (fechamento dos racionais) é valor de aderência, e não sai fora de [0,1].
Resposta
Para A: defina
Para B: para n escrito como n = k(k-1)/2 + i, 1 ≤ i ≤ k, defina
Para C: seja (q_n)_{n≥1} enumeração de ℚ∩[0,1]. Para n = k(k-1)/2 + i, 1 ≤ i ≤ k, defina