Seja f(x)=x^3-3 x^2-9 x com Dom(f)=x in R /-2 <= x <= 2.
Encontre o máximo absoluto e o mínimo absoluto da função f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x $ e sabemos que $ x $ está no intervalo de -2 até 2. Nosso objetivo aqui é encontrar qual é o maior valor que essa função atinge (o máximo absoluto) e qual é o menor valor (o mínimo absoluto) dentro desse intervalo. Para isso, vamos precisar usar cálculo, mais especificamente derivadas, para achar os pontos onde a função pode ter esses valores extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a descobrir onde a função tem inclinações que mudam, ou seja, onde podem estar os máximos e mínimos locais.
A derivada de $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x $ é:
f(x)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de $ x $ onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são potenciais candidatos para os máximos e mínimos.
Então, vamos resolver a equação:
x
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
3x^2 - 6x - 9 = 0

Passo 4

Para resolver $ x^{2} - 2x - 3 = 0 $, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x^2 - 2x - 3 = 0
onde $ a = 1 $, $ b = -2 $ e $ c = -3 $.
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Como $ \Delta > 0 $, temos duas raízes reais:
a = 1
Então:
b = -2

Passo 5

Os pontos críticos são $ x = 3 $ e $ x = -1 $. Entretanto, nosso domínio é de -2 a 2, então $ x = 3 $ está fora do intervalo e não consideramos. Assim, o único ponto crítico dentro do domínio é $ x = -1 $.

Passo 6

Além do ponto crítico, precisamos avaliar a função nos extremos do intervalo, ou seja, em $ x = -2 $ e $ x = 2 $. Isso porque, para encontrar máximos e mínimos absolutos em intervalos fechados, devemos considerar esses pontos também.

Passo 7

Vamos calcular $ f(x) $ nos pontos $ x = -2 $, $ x = -1 $ e $ x = 2 $:
Para $ x = -2 $:
f(x)
Para $ x = -1 $:
x = -2
Para $ x = 2 $:
x = -1

Resposta

Depois de avaliar nos pontos críticos e nos extremos do intervalo, descobrimos que:
  • O máximo absoluto da função é 5, atingido em $ x = -1 $.
  • O mínimo absoluto da função é -22, atingido em $ x = 2 $.

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