Calcule
, onde
é o cilindro
entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de $ z^{2} $ sobre o volume $ V $, que é um cilindro definido por $ x^{2} + y^{2} \leq 16 $ e entre as alturas $ z = -2 $ e $ z = 2 $. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral Multivariado, mais especificamente usando coordenadas cilíndricas para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é uma integral tripla. A integral tripla $ \iiint_{V} f(x,y,z) , dV $ calcula o volume sob a função $ f(x,y,z) $ dentro do volume $ V $. No nosso caso, $ f(x,y,z) = z^{2} $.
Passo 3
Como o volume $ V $ é um cilindro com equação $ x^{2} + y^{2} \leq 16 $ e altura de $ z = -2 $ a $ z = 2 $, fica mais fácil usar coordenadas cilíndricas para configurar a integral. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
- $ x = r \cos \theta $
- $ y = r \sin \theta $
- $ z = z $
- O elemento de volume $ dV = r , dr , d\theta , dz $
Passo 4
Vamos definir os limites de integração:
- $ r $ varia de 0 a 4, porque $ x^{2} + y^{2} \leq 16 $ implica $ r \leq 4 $ (já que $ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $).
- $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $ para cobrir toda a circunferência.
- $ z $ varia de -2 a 2, conforme especificado.
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ z $:
Passo 7
Substituindo o resultado na integral, ficamos com:
Passo 8
Agora, vamos integrar em relação a $ r $:
Passo 9
Por fim, integramos em relação a $ \theta $:
Resposta
O valor da integral tripla é $ \dfrac{256\pi}{3} $.