Calcule integral triplaV z^2 d V, onde V é o cilindro x^2+y^2 <= 16 entre z=-2 e z=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de $ z^{2} $ sobre o volume $ V $, que é um cilindro definido por $ x^{2} + y^{2} \leq 16 $ e entre as alturas $ z = -2 $ e $ z = 2 $. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral Multivariado, mais especificamente usando coordenadas cilíndricas para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que é uma integral tripla. A integral tripla $ \iiint_{V} f(x,y,z) , dV $ calcula o volume sob a função $ f(x,y,z) $ dentro do volume $ V $. No nosso caso, $ f(x,y,z) = z^{2} $.

Passo 3

Como o volume $ V $ é um cilindro com equação $ x^{2} + y^{2} \leq 16 $ e altura de $ z = -2 $ a $ z = 2 $, fica mais fácil usar coordenadas cilíndricas para configurar a integral. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
  • $ x = r \cos \theta $
  • $ y = r \sin \theta $
  • $ z = z $
  • O elemento de volume $ dV = r , dr , d\theta , dz $

Passo 4

Vamos definir os limites de integração:
  • $ r $ varia de 0 a 4, porque $ x^{2} + y^{2} \leq 16 $ implica $ r \leq 4 $ (já que $ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $).
  • $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $ para cobrir toda a circunferência.
  • $ z $ varia de -2 a 2, conforme especificado.

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaV z^2 , dV = integral0^2pi integral0^4 integral-2^2 z^2 cdot r , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ z $:
z

Passo 7

Substituindo o resultado na integral, ficamos com:
integral triplaV z^2 , dV = integral0^2pi integral0^4 163 cdot r , dr , dtheta

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a $ r $:
r

Passo 9

Por fim, integramos em relação a $ \theta $:
theta

Resposta

O valor da integral tripla é $ \dfrac{256\pi}{3} $.

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