Resolva integral0^3 integral0^x integral0^x-y(x+y+z) d z d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o integral triplo integral0^3 integral0^x integral0^x-y(x+y+z) , dz , dy , dx. Aqui estamos lidando com múltiplas integrais, especificamente integrais triplas. Para resolver isso, vamos integrar uma variável de cada vez, começando por z, depois y e por último x.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a z. A expressão dentro do integral é (x + y + z) e os limites para z vão de 0 a (x - y). Então, a integral fica:
integral0^x-y (x + y + z) , dz
Integrando termo a termo:
= integral0^x-y x , dz + integral0^x-y y , dz + integral0^x-y z , dz
Como x e y são constantes em relação a z, isso fica:
= x(z)|0^x-y + y(z)|0^x-y + 12z^2|0^x-y
Calculando os limites:
= x(x - y) + y(x - y) + 12(x - y)^2
Simplificando:
= x(x - y) + y(x - y) + 12(x - y)^2 = (x + y)(x - y) + 12(x - y)^2

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão obtida:
(x + y)(x - y) = x^2 - y^2
Então, temos:
x^2 - y^2 + 12(x - y)^2
Expanda (x - y)^2:
x^2 - y^2 + 12(x^2 - 2xy + y^2)
Distribua o 12:
x^2 - y^2 + 12x^2 - xy + 12y^2 = 32x^2 - xy - 12y^2

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a y, com os limites de 0 a x:
integral0^x ( 32x^2 - xy - 12y^2 ) dy
Integramos termo a termo:
= 32x^2 y |0^x - x y^22 |0^x - 12 y^33 |0^x
Calculando os limites:
= 32x^3 - x cdot x^22 - 16x^3 = 32x^3 - 12x^3 - 16x^3
Simplificando:
= ( 32 - 12 - 16 ) x^3 = 43x^3

Passo 5

Por fim, vamos integrar a expressão 43x^3 em relação a x, com os limites de 0 a 3:
integral0^3 43x^3 , dx
Integrando:
= 43 cdot x^44 |0^3 = 43 cdot 814 = 813 = 27

Resposta

O valor do integral triplo é 27.

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