Resolva integral triplaV rho^2 cos ^2 phi d V, onde V é a esfera de raio 3 centrada na origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral tripla integral triplaV rho^2 cos^2 phi , dV, onde V é uma esfera de raio 3 centrada na origem. Aqui, estamos trabalhando com coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como converter a integral para coordenadas esféricas e entender um pouco sobre integrais em múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, o volume infinitesimal dV é dado por rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta. Então, nossa integral fica:
integral triplaV rho^2 cos^2 phi cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Isso simplifica para:
integral triplaV rho^4 cos^2 phi sin phi , drho , dphi , dtheta

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Como V é uma esfera de raio 3:
  • rho varia de 0 a 3,
  • phi varia de 0 a pi,
  • theta varia de 0 a 2pi.
Então, nossa integral fica:
integral0^2pi integral0^pi integral0^3 rho^4 cos^2 phi sin phi , drho , dphi , dtheta

Passo 4

Vamos integrar em partes. Primeiro, a integral em rho:
integral0^3 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^3 = 3^55 - 0 = 2435

Passo 5

Agora, a integral em phi:
integral0^pi cos^2 phi sin phi , dphi
Fazendo uma substituição: deixe u = cos phi, então du = -sin phi , dphi. Quando phi = 0, u = 1; quando phi = pi, u = -1. A integral vira:
integral1^-1 u^2 (-du) = integral-1^1 u^2 du = [ u^33 ]-1^1 = 13 - ( -13 ) = 23

Passo 6

Por último, a integral em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Resposta

Multiplicando todas as partes:
2435 times 23 times 2pi = 48615 pi = 1625 pi
Então, o valor da integral é 1625 pi.

Exercícios relacionados