Resolva
, onde
é a esfera de raio 3 centrada na origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral tripla
, onde
é uma esfera de raio 3 centrada na origem. Aqui, estamos trabalhando com coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como converter a integral para coordenadas esféricas e entender um pouco sobre integrais em múltiplas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, o volume infinitesimal
é dado por
. Então, nossa integral fica:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Como
é uma esfera de raio 3:
-
varia de 0 a 3, -
varia de 0 a , -
varia de 0 a .
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos integrar em partes. Primeiro, a integral em
:
Passo 5
Agora, a integral em
:
Fazendo uma substituição: deixe
, então
. Quando
,
; quando
,
. A integral vira:
Passo 6
Por último, a integral em
:
Resposta
Multiplicando todas as partes:
Então, o valor da integral é
.