Se Sigma cn 6^n for convergente, então sum cn(-2)^n é convergente.

Passo 1

Temos o enunciado: se a série sum cn6^n converge, mostrar que sum cn(-2)^n também converge. Vamos usar o Teste da Raiz, que diz que para sum an a série converge se L = limsupntoinfty |an|^1/n < 1.

Passo 2

Aplico o Teste da Raiz na série sum cn6^n. Calculamos
L1 = limsupntoinfty |cn6^n|^1/n = 6limsupntoinfty|cn|^1/n
Como a série converge, temos L1 < 1, ou seja limsupntoinfty|cn|^1/n < tfrac16.

Passo 3

Agora aplico o Teste da Raiz na série sum cn(-2)^n. Calculamos
L2 = limsupntoinfty |cn(-2)^n|^1/n = 2limsupntoinfty|cn|^1/n
Como limsup|cn|^1/n < tfrac16, segue L2 < tfrac26 = tfrac13 < 1. Assim a série converge absolutamente.

Resposta

A série sum cn(-2)^n converge absolutamente, logo converge.

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