Calcule as seguintes integrais:
integral1^2 integraly^y^2 integral0^ln x y e^z d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integraly=1^2integralx=y^y^2integralz=0^ln x y e^z,dz,dx,dy. O conteúdo usado envolve integração iterada e o Teorema Fundamental do Cálculo para obter antiderivadas de exponenciais e polinômios.

Passo 2

Calcular primeiro a integral interna em z:
integral0^ln x y e^z,dz = yl[e^zr]0^ln x = yl(e^ln x - 1r) = y(x - 1)

Passo 3

Substituindo no passo seguinte e integrando em x:
integralx=y^y^2 y(x - 1),dx = y[x^22 - x]y^y^2 = yl(tfracy^42 - y^2 - tfracy^22 + yr) = tfrac12y^5 - tfrac32y^3 + y^2

Passo 4

Agora integramos em y:
integral1^2 l(tfrac12y^5 - tfrac32y^3 + y^2r),dy = [y^612 - 3y^48 + y^33]1^2

Passo 5

Avaliar nos limites: para y=2 temos
2^612 - 3cdot2^48 + 2^33 = 6412 - 6 + 83 = 8 - 6 = 2,
e para y=1:
112 - 38 + 13 = 124

Passo 6

Finalmente, subtraímos: 2 - tfrac124 = tfrac4724.

Resposta

4724

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