Calcule integral triplaV rho^2 d V, onde V é a região dentro da esfera de raio 2 e fora da esfera de raio 1 , ambas centradas na origem.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla integral triplaV rho^2 d V, onde V é a região que está dentro de uma esfera de raio 2 e fora de uma esfera de raio 1, ambas centradas na origem. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais múltiplas usando coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como configurar a integral tripla em coordenadas esféricas e determinar os limites de integração apropriados para rho, theta e phi.

Passo 2

Vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é definido por três coordenadas:
  • rho (a distância do ponto até a origem),
  • theta (o ângulo no plano xy, medido a partir do eixo x),
  • phi (o ângulo entre o eixo z e a linha que liga a origem ao ponto).
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Isso significa que, para calcular a integral tripla, vamos multiplicar a função integranda pela expressão do elemento de volume.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável:
  • Para rho: Já que estamos entre as esferas de raio 1 e 2, rho varia de 1 até 2.
  • Para theta: Esse ângulo completa uma volta ao redor do eixo z, então varia de 0 a 2pi.
  • Para phi: Esse ângulo vai do polo norte ao polo sul, então varia de 0 a pi.

Passo 4

Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla. Substituindo dV na expressão original, temos:
integral triplaV rho^2 d V = integral0^2pi integral0^pi integral1^2 rho^2 cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Isso simplifica para:
integral0^2pi integral0^pi integral1^2 rho^4 sin phi , drho , dphi , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integral em rho:
integral1^2 rho^4 drho = [ rho^55 ]1^2 = 325 - 15 = 315
  1. Integral em phi:
integral0^pi sin phi , dphi = [ -cos phi ]0^pi = (-cos pi) - (-cos 0) = (1) - (-1) = 2
  1. Integral em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
315 times 2 times 2pi = 625 pi

Resposta

O valor da integral tripla é 625 pi.

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