Calcule
, onde
é a região dentro da esfera de raio 2 e fora da esfera de raio 1 , ambas centradas na origem.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla
, onde
é a região que está dentro de uma esfera de raio 2 e fora de uma esfera de raio 1, ambas centradas na origem. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais múltiplas usando coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como configurar a integral tripla em coordenadas esféricas e determinar os limites de integração apropriados para
,
e
.
Passo 2
Vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é definido por três coordenadas:
-
(a distância do ponto até a origem), -
(o ângulo no plano xy, medido a partir do eixo x), -
(o ângulo entre o eixo z e a linha que liga a origem ao ponto).
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Isso significa que, para calcular a integral tripla, vamos multiplicar a função integranda pela expressão do elemento de volume.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável:
- Para
: Já que estamos entre as esferas de raio 1 e 2, varia de 1 até 2. - Para
: Esse ângulo completa uma volta ao redor do eixo z, então varia de 0 a . - Para
: Esse ângulo vai do polo norte ao polo sul, então varia de 0 a .
Passo 4
Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla. Substituindo
na expressão original, temos:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
Resposta
O valor da integral tripla é
.