Encontre o centro de massa de
, onde
é o cilindro
entre
e
, com densidade
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o centro de massa de um cilindro definido por $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $ entre as alturas $ z = 0 $ e $ z = 5 $. A densidade desse cilindro varia conforme $ \delta(x, y, z) = z $. Vamos usar conhecimentos de Cálculo Integral para resolver isso, especificamente integrais múltiplas para calcular massa e coordenadas do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o centro de massa. Ele é um ponto que representa a média ponderada das posições de todas as partículas que compõem o objeto, levando em conta a densidade. As fórmulas para encontrar as coordenadas
do centro de massa são:
Onde $ M $ é a massa total, calculada por:
Passo 3
Vamos calcular a massa total $ M $. Como a densidade é $ \delta(x, y, z) = z $, temos:
O volume $ V $ é o cilindro $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $ com $ 0 \leq z \leq 5 $. Será mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas, onde $ x = r \cos \theta $, $ y = r \sin \theta $, e $ z = z $. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é $ dV = r , dr , d\theta , dz $.
Portanto, os limites de integração são:
- $ r $ vai de 0 a 2 (já que $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $),
- $ \theta $ vai de 0 a $ 2\pi $,
- $ z $ vai de 0 a 5.
Então,
Passo 4
Antes de calcular $ M $, observe que, pelo simetria do cilindro em relação aos eixos $ x $ e $ y $, as coordenadas $ \overline{x} $ e $ \overline{y} $ serão iguais a zero. Isso porque para cada ponto positivo em $ x $ ou $ y $, há um ponto correspondente negativo que cancela sua contribuição ao centro de massa. Assim, precisamos apenas calcular $ \overline{z} $.
Passo 5
Vamos calcular $ \overline{z} $:
Usando coordenadas cilíndricas:
Primeiro, calculamos $ M $:
Integral de $ z $ de 0 a 5:
Integral de $ r $ de 0 a 2:
Integral de $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $:
Então,
Agora, calculamos a integral para $ \overline{z} $:
Integral de $ z^{2} $ de 0 a 5:
Integral de $ r $ de 0 a 2:
Integral de $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $:
Então,
Agora, calculamos $ \overline{z} $:
Resposta
O centro de massa do cilindro $ V $ está localizado nas coordenadas $ (\overline{x}, \overline{y}, \overline{z}) = \left(0, 0, \frac{10}{3}\right) $.