Encontre o centro de massa de V, onde V é o cilindro x^2+y^2 <= 4 entre z=0 e z=5, com densidade de.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o centro de massa de um cilindro definido por $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $ entre as alturas $ z = 0 $ e $ z = 5 $. A densidade desse cilindro varia conforme $ \delta(x, y, z) = z $. Vamos usar conhecimentos de Cálculo Integral para resolver isso, especificamente integrais múltiplas para calcular massa e coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o centro de massa. Ele é um ponto que representa a média ponderada das posições de todas as partículas que compõem o objeto, levando em conta a densidade. As fórmulas para encontrar as coordenadas (x, y, z) do centro de massa são:
x = 1M integral triplaV x de
y = 1M integral triplaV y de
z = 1M integral triplaV z de
Onde $ M $ é a massa total, calculada por:
M

Passo 3

Vamos calcular a massa total $ M $. Como a densidade é $ \delta(x, y, z) = z $, temos:
M
O volume $ V $ é o cilindro $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $ com $ 0 \leq z \leq 5 $. Será mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas, onde $ x = r \cos \theta $, $ y = r \sin \theta $, e $ z = z $. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é $ dV = r , dr , d\theta , dz $.
Portanto, os limites de integração são:
  • $ r $ vai de 0 a 2 (já que $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $),
  • $ \theta $ vai de 0 a $ 2\pi $,
  • $ z $ vai de 0 a 5.
Então,
de

Passo 4

Antes de calcular $ M $, observe que, pelo simetria do cilindro em relação aos eixos $ x $ e $ y $, as coordenadas $ \overline{x} $ e $ \overline{y} $ serão iguais a zero. Isso porque para cada ponto positivo em $ x $ ou $ y $, há um ponto correspondente negativo que cancela sua contribuição ao centro de massa. Assim, precisamos apenas calcular $ \overline{z} $.

Passo 5

Vamos calcular $ \overline{z} $:
z
Usando coordenadas cilíndricas:
z = 1M integral triplaV z cdot z , dV = 1M integral triplaV z^2 , dV
Primeiro, calculamos $ M $:
z = 1M integral0^2pi integral0^2 integral0^5 z^2 cdot r , dz , dr , dtheta
Integral de $ z $ de 0 a 5:
M
Integral de $ r $ de 0 a 2:
M = integral0^2pi dtheta integral0^2 r , dr integral0^5 z , dz
Integral de $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $:
z
Então,
integral0^5 z , dz = [ z^22 ]0^5 = 252
Agora, calculamos a integral para $ \overline{z} $:
r
Integral de $ z^{2} $ de 0 a 5:
integral0^2 r , dr = [ r^22 ]0^2 = 2
Integral de $ r $ de 0 a 2:
theta
Integral de $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $:
2pi
Então,
integral0^2pi dtheta = 2pi
Agora, calculamos $ \overline{z} $:
M = 2pi times 2 times 252 = 2pi times 25 = 50pi

Resposta

O centro de massa do cilindro $ V $ está localizado nas coordenadas $ (\overline{x}, \overline{y}, \overline{z}) = \left(0, 0, \frac{10}{3}\right) $.

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