Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente calcular a integral indefinida de
. Aqui, estamos trabalhando com integrais que envolvem funções exponenciais e raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando a expressão em algo mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar. Olhando para a integral
, percebemos que o termo
aparece tanto no numerador quanto dentro da raiz. Isso sugere que podemos fazer uma substituição para facilitar.
Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
. Derivando ambos os lados:
Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de
. Observamos que no numerador temos
, que é parecido com o que encontramos para
:
Portanto:
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, a integral ficou mais simples:
Lembrando que a integral de
em relação a
é:
No nosso caso,
, então:
Passo 5
Agora, precisamos voltar à variável original, que é
. Lembramos que fizemos:
Substituindo de volta:
Resposta
A integral indefinida é: