Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral 3 e^xraize^x+4 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente calcular a integral indefinida de 3 e^xraize^x+4 , dx. Aqui, estamos trabalhando com integrais que envolvem funções exponenciais e raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando a expressão em algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar. Olhando para a integral integral 3 e^xraize^x+4 , dx, percebemos que o termo e^x aparece tanto no numerador quanto dentro da raiz. Isso sugere que podemos fazer uma substituição para facilitar.
Vamos definir:
u = e^x + 4
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx. Derivando ambos os lados:
dudx = e^x
Ou seja:
du = e^x , dx

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de u. Observamos que no numerador temos 3 e^x , dx, que é parecido com o que encontramos para du:
e^x , dx = du
Portanto:
3 e^x , dx = 3 du
Substituindo na integral:
integral 3 e^xraize^x+4 , dx = integral 3 duraizu

Passo 4

Agora, a integral ficou mais simples:
integral 3 duraizu = 3 integral u^-1/2 , du
Lembrando que a integral de u^n em relação a u é:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C (onde n neq -1)
No nosso caso, n = -12, então:
3 integral u^-1/2 , du = 3 cdot u^1/21/2 + C = 3 cdot 2 u^1/2 + C = 6 raizu + C

Passo 5

Agora, precisamos voltar à variável original, que é x. Lembramos que fizemos:
u = e^x + 4
Substituindo de volta:
6 raizu + C = 6 raize^x + 4 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral 3 e^xraize^x+4 , dx = 6 raize^x + 4 + C

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