Calcule
, snedo
limitado pelas superfícies cilíndricas
no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla
, onde
é a região no primeiro octante limitada pelas superfícies cilíndricas
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo em coordenadas cartesianas, especialmente sobre como definir os limites de integração e calcular integrais múltiplas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela está no primeiro octante, ou seja, onde todas as coordenadas
,
e
são positivas. As superfícies que limitam
são:
-
: Isso nos dá uma relação entre e . -
: Isso define o limite superior para a coordenada .
Vamos começar encontrando os limites de
e
.
Passo 3
Analise a equação
. Podemos reescrever isso como:
Isso é uma equação quadrática em
. Para encontrar os valores de
em termos de
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Para que as soluções sejam reais, o discriminante
deve ser maior ou igual a zero:
Como estamos no primeiro octante,
, então
varia de
a
.
Passo 4
Agora, para cada
no intervalo
, vamos determinar os limites de
. Da equação
, observamos que:
- A solução
representa o limite inferior para . - A solução
representa o limite superior para .
Portanto, para cada
,
varia de
a
.
Passo 5
Finalmente, para cada par
, a coordenada
varia de
até
, conforme dado na superfície
.
Passo 6
Com todos os limites definidos, podemos expressar a integral tripla como:
Vamos calcular a integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Integramos em relação a
:
Avaliando entre os limites de
:
Simplificando:
Usando a identidade
:
Passo 9
Agora, a integral reduzida é:
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Voltando para
:
Avaliando de
a
:
Resposta
O valor final da integral tripla
é
.