Calcule integral triplaW x z d V, snedo W limitado pelas superfícies cilíndricas x^2=y-y^2 e z=2 raizy no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla integral triplaW x z , dV, onde W é a região no primeiro octante limitada pelas superfícies cilíndricas x^2 = y - y^2 e z = 2 raizy. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo em coordenadas cartesianas, especialmente sobre como definir os limites de integração e calcular integrais múltiplas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região W. Ela está no primeiro octante, ou seja, onde todas as coordenadas x, y e z são positivas. As superfícies que limitam W são:
  1. x^2 = y - y^2: Isso nos dá uma relação entre x e y.
  2. z = 2 raizy: Isso define o limite superior para a coordenada z.
Vamos começar encontrando os limites de x e y.

Passo 3

Analise a equação x^2 = y - y^2. Podemos reescrever isso como:
y^2 - y + x^2 = 0
Isso é uma equação quadrática em y. Para encontrar os valores de y em termos de x, usamos a fórmula de Bhaskara:
y = 1 pm raiz1 - 4x^22
Para que as soluções sejam reais, o discriminante 1 - 4x^2 deve ser maior ou igual a zero:
1 - 4x^2 >= 0 implies x^2 <= 14 implies |x| <= 12
Como estamos no primeiro octante, x >= 0, então x varia de 0 a 12.

Passo 4

Agora, para cada x no intervalo [0, 12], vamos determinar os limites de y. Da equação y = 1 pm raiz1 - 4x^22, observamos que:
  • A solução y = 1 - raiz1 - 4x^22 representa o limite inferior para y.
  • A solução y = 1 + raiz1 - 4x^22 representa o limite superior para y.
Portanto, para cada x, y varia de 1 - raiz1 - 4x^22 a 1 + raiz1 - 4x^22.

Passo 5

Finalmente, para cada par (x, y), a coordenada z varia de 0 até 2raizy, conforme dado na superfície z = 2raizy.

Passo 6

Com todos os limites definidos, podemos expressar a integral tripla como:
integralx=0^1/2 integraly=1 - raiz1 - 4x^22^1 + raiz1 - 4x^22 integralz=0^2raizy x z , dz , dy , dx
Vamos calcular a integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^2raizy x z , dz = x [ z^22 ]0^2raizy = x ( (2raizy)^22 - 0 ) = x ( 4y2 ) = 2xy

Passo 8

Agora, a integral fica:
integral0^1/2 integral1 - raiz1 - 4x^22^1 + raiz1 - 4x^22 2xy , dy , dx
Integramos em relação a y:
integral 2xy , dy = 2x [ y^22 ] = x y^2
Avaliando entre os limites de y:
x ( ( 1 + raiz1 - 4x^22 )^2 - ( 1 - raiz1 - 4x^22 )^2 )
Simplificando:
x ( (1 + raiz1 - 4x^2)^2 - (1 - raiz1 - 4x^2)^24 )
Usando a identidade a^2 - b^2 = (a - b)(a + b):
x ( (2 raiz1 - 4x^2)(2)4 ) = x raiz1 - 4x^2

Passo 9

Agora, a integral reduzida é:
integral0^1/2 x raiz1 - 4x^2 , dx
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja u = 1 - 4x^2, então du = -8x , dx ou dx = -du8x.
Substituindo na integral:
integral x raizu ( -du8x ) = -18 integral raizu , du = -18 cdot 23 u^3/2 + C = -112 u^3/2 + C
Voltando para u = 1 - 4x^2:
-112 (1 - 4x^2)^3/2
Avaliando de x = 0 a x = 12:
[ -112 (1 - 4x^2)^3/2 ]0^1/2 = -112 (1 - 4 (12)^2)^3/2 + 112 (1 - 0)^3/2 = -112 (1 - 1)^3/2 + 112 = 0 + 112 = 112

Resposta

O valor final da integral tripla integral triplaW x z , dV é 112.

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