Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange, encontre os valores máximo e mínimo da função
, na elipse
.
Passo 1
Temos a função objetivo
sujeita à restrição da elipse
. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que consiste em encontrar pontos críticos de
sob a condição
.
Passo 2
Montamos a Lagrangiana
, que reúne a função objetivo e a restrição:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
A primeira equação se fatoriza em
, dando dois casos.
Passo 4
Caso 1:
. Da restrição resulta
portanto
. Substituindo em
achamos
. Assim temos os pontos críticos
e
. Avaliando:
Passo 5
Caso 2:
, ou seja
. Substituímos na segunda equação e, usando a restrição para eliminar
, chegamos à equação em
:
que tem solução
. Logo
. Voltando em
dá
. Os pontos são
.
Passo 6
Avaliamos
nesses pontos:
Para :
Para
para
:
Passo 7
Comparando todos os valores de
nos pontos críticos, vemos que o máximo global é
e o mínimo global é
.
Resposta
O valor máximo de
na elipse é
, que ocorre em
, e o valor mínimo é
, que ocorre em
.