Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange, encontre os valores máximo e mínimo da função f(x, y)=x^3 y+5 y^3-15 y, na elipse x^2+3 y^2=3.

Passo 1

Temos a função objetivo f(x,y)=x^3y+5y^3-15y sujeita à restrição da elipse x^2+3y^2=3. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que consiste em encontrar pontos críticos de f sob a condição g(x,y)=x^2+3y^2-3=0.

Passo 2

Montamos a Lagrangiana L(x,y,lambda), que reúne a função objetivo e a restrição:
L(x,y,lambda)=x^3y+5y^3-15y-lambdal(x^2+3y^2-3r)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partialLpartial x=3x^2y-2lambda x=0, partialLpartial y=x^3+15y^2-15-6lambda y=0, x^2+3y^2-3=0
A primeira equação se fatoriza em x(3xy-2lambda)=0, dando dois casos.

Passo 4

Caso 1: x=0. Da restrição resulta 3y^2=3 portanto y=pm1. Substituindo em partialL/partial y=0 achamos lambda=0. Assim temos os pontos críticos (0,1) e (0,-1). Avaliando:
f(0,1)= -10, f(0,-1)=10

Passo 5

Caso 2: 3xy-2lambda=0, ou seja lambda=tfrac32xy. Substituímos na segunda equação e, usando a restrição para eliminar x^2=3-3y^2, chegamos à equação em y^2:
48y^4+y^2-22=0
que tem solução y^2=2/3. Logo y=pmraiz2/3. Voltando em x^2+3y^2=3 x=-1. Os pontos são (-1,pmraiz2/3).

Passo 6

Avaliamos f nesses pontos:
Para y=+raiz2/3:
f=-!38raiz69approx -10,34,
para y=-raiz2/3:
f=+38raiz69approx 10,34

Passo 7

Comparando todos os valores de f nos pontos críticos, vemos que o máximo global é +38raiz6/9 e o mínimo global é -38raiz6/9.

Resposta

O valor máximo de f na elipse é 38raiz69, que ocorre em (-1,-raiz2/3), e o valor mínimo é -38raiz69, que ocorre em (-1,raiz2/3).

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