Calcule a integral trocando a ordem de integração.
\begin{aligned} & \int_{0}^{1} \int_{\operatorname{arcsen} y}^{\pi / 2} \cos x \sqrt{1+\cos ^{2} x} d x d y \& {\left[\operatorname{Resp} .: \frac{1}{3}(2 \sqrt{2}-1)\right]}\end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \int_{0}^{1}\int_{\arcsin y}^{\pi/2}\cos x\sqrt{1+\cos^2 x}\,dx\,dy
trocando a ordem de integração. O conteúdo envolvido é interpretação de domínio de integração em duplo integral e depois uma integral simples por substituição trigonométrica.

Passo 2

Precisamos descrever a região
R = \{(x,y)\mid 0 \le y \le 1,\\ \arcsin y \le x \le \tfrac{\pi}{2}\}.
Como \arcsin y \le x equivale a y \le \sin x para 0\le x\le\pi/2, podemos reescrever
R = \{(x,y)\mid 0 \le x \le \tfrac{\pi}{2},\\\ 0 \le y \le \sin x\}.
Logo
I = \int_{x=0}^{\pi/2}\int_{y=0}^{\sin x}\cos x\sqrt{1+\cos^2 x}\,dy\,dx.

Passo 3

Integramos primeiro em y, que é trivial pois o integrando não depende de y:
\int_{y=0}^{\sin x}\cos x\sqrt{1+\cos^2 x}\,dy = \bigl[y\bigr]_{0}^{\sin x}\,\cos x\sqrt{1+\cos^2 x} = \sin x\;\cos x\sqrt{1+\cos^2 x}.
Assim
I = \int_{0}^{\pi/2}\sin x\cos x\sqrt{1+\cos^2 x}\,dx.

Passo 4

Para a integral
\int_{0}^{\pi/2}\sin x\cos x\sqrt{1+\cos^2 x}\,dx
fazemos a substituição u=\cos x, de modo que du=-\sin x\,dx. Quando x=0, u=1; quando x=\pi/2, u=0. A integral torna-se
I = \int_{u=1}^{0}(-u\sqrt{1+u^2})\,du = \int_{0}^{1}u\sqrt{1+u^2}\,du.

Passo 5

Para \displaystyle\int_{0}^{1}u\sqrt{1+u^2}\,du, usamos t=1+u^2, dt=2u\,du, logo u\,du=\tfrac12\,dt. Assim
\int u\sqrt{1+u^2}\,du = \frac12\int t^{1/2}\,dt = \frac12\cdot\frac{2}{3}t^{3/2} = \frac{1}{3}(1+u^2)^{3/2}.
Avaliar de 0 a 1
I = \frac{1}{3}\bigl[(1+1^2)^{3/2} - (1+0^2)^{3/2}\bigr] = \frac{1}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr) = \frac{1}{3}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr)

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