Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla.
Passo 1
O enunciado nos pede calcular a integral dupla
onde
O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas cartesianas, e vamos usar geometria (área) e simetria para simplificar.
Passo 2
Observamos que
é exatamente a metade superior do disco de raio
centrado na origem, pois
Passo 3
Separamos a integral em duas partes:
Como
é simétrico em relação ao eixo
e
é função ímpar, vale
Passo 4
Restou calcular
A área de
é metade da área de um disco de raio
, ou seja,
Passo 5
Multiplicando por
, obtemos