Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla.
\iint_{D}(x+2) d A, D=\left\{(x, y) ; 0 \leq y \leq \sqrt{9-x^{2}}\right\}

Passo 1

O enunciado nos pede calcular a integral dupla
\iint_{D}(x+2)\,dA,
onde
D = \{(x,y)\mid 0 \le y \le \sqrt{9 - x^2}\}.
O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas cartesianas, e vamos usar geometria (área) e simetria para simplificar.

Passo 2

Observamos que D é exatamente a metade superior do disco de raio 3 centrado na origem, pois
y\ge0 \quad\text{e}\quad x^2 + y^2 \le 9.

Passo 3

Separamos a integral em duas partes:
\iint_{D}(x+2)\,dA = \iint_{D}x\,dA + 2\iint_{D}1\,dA.
Como D é simétrico em relação ao eixo y e x é função ímpar, vale
\iint_{D}x\,dA = 0.

Passo 4

Restou calcular
2\iint_{D}1\,dA = 2\cdot \text{área}(D).á
A área de D é metade da área de um disco de raio 3, ou seja,
\text{área}(D) = \frac12\pi\cdot3^2 = \frac{9}{2}\pi.á

Passo 5

Multiplicando por 2, obtemos
2\cdot \frac{9}{2}\pi = 9\pi.

Resposta

9\pi

Exercícios relacionados