Questão 15. Definimos o valor médio de uma função f de duas variáveis em uma região D contido em seu domínio por:
f_{\mathrm{med}}=\frac{1}{A(D)} \iint_{D} f(x, y) d A
em que A(D) indica a área da região D. Determine o valor médio de f(x, y)=x \operatorname{sen} y na região D limitada pelas curvas y=0, y=x^{2} e x=1.
\left[\right. Resp. \left.3\left(-\frac{1}{2} \operatorname{sen}(1)+\frac{1}{2}\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede o valor médio da função f(x,y)=x\sin y na região D limitada por y=0, y=x^2 e x=1. O conteúdo aqui é cálculo de valor médio via integral dupla, usando
f_{\mathrm{med}}=\frac{1}{A(D)}\iint_{D}f(x,y)\,dA.

Passo 2

Calcular a área de D:
A(D)=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{x^2}1\,dA =\int_{0}^{1}x^2\,dx =\frac{1}{3}.

Passo 3

Escrever a integral dupla de f sobre D:
\iint_{D}x\sin y\,dA =\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{x^2}x\sin y\,dy\,dx.

Passo 4

Calcular a integral interna em y:
\int_{y=0}^{x^2}\sin y\,dy =\bigl[-\cos y\bigr]_{0}^{x^2} =1-\cos\bigl(x^2\bigr).
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\iint_{D}x\sin y\,dA =\int_{0}^{1}x\bigl(1-\cos(x^2)\bigr)\,dx.

Passo 5

Separar e calcular em x:
\int_{0}^{1}x\,dx=\frac{1}{2}, \qquad \int_{0}^{1}x\cos(x^2)\,dx =\frac{1}{2}\sin(x^2)\Big|_{0}^{1} =\frac{1}{2}\sin1.
Portanto
\iint_{D}x\sin y\,dA =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sin1.

Passo 6

Calcular o valor médio dividindo pela área:
f_{\mathrm{med}} =\frac{1}{A(D)}\iint_{D}x\sin y\,dA =3\Bigl(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\sin1\Bigr) =3\Bigl(-\tfrac{1}{2}\sin1+\tfrac{1}{2}\Bigr).

Resposta

3\bigl(-\tfrac12\sin1+\tfrac12\bigr)

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