Calcule a integral, trocando a ordem de integração
(d) integral0^8 integralraiz[3]y^8 e^x^4 d x d y;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada integral0^8!integralraiz[3]y^8e^x^4,dx,dy trocando a ordem de integração. O conteúdo aqui é integração dupla e mudança de ordem de integração.

Passo 2

A região D do plano (x,y) é dada por
0<= y<=8, raiz[3]y<= x<=8
Isto equivale a
0<= x<=8, 0<= y<= x^3,
porém como x^3<=8 só para x<=2, para x>2 temos y<=8.

Passo 3

Invertendo a ordem, a integral se separa em dois pedaços:
[
\int_{0}{8}\int_{\sqrt[3]{y}}{8}e{x{4}},dx,dy
=\int_{x=0}{2}!\int_{y=0}{x{3}}e{x^{4}},dy,dx
+\int_{x=2}{8}!\int_{y=0}{8}e{x{4}},dy,dx.

Passo 4

Calculando a integral em y primeiro, como e^x^4 é constante em y:
[
\int_{0}{2}\Bigl(e{x{4}}\int_{0}{x^{3}}dy\Bigr)dx
+\int_{2}{8}\Bigl(e{x{4}}\int_{0}{8}dy\Bigr)dx
=\int_{0}{2}x{3}e{x{4}},dx+\int_{2}{8}8e{x^{4}},dx.

Passo 5

Para o primeiro termo usamos a substituição u=x^4, com du=4x^3dx:
integral0^2x^3e^x^4,dx =14integral0^16e^u,du =e^16-14
O segundo termo não possui antiderivada elementar, então fica na forma de integral.

Passo 6

Juntando tudo, a resposta final é:
e^16-14+8integral2^8e^x^4,dx

Resposta

e^16-14+8integral2^8e^x^4,dx

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