Calcule a integral, trocando a ordem de integração
(d)
;
(d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
trocando a ordem de integração. O conteúdo aqui é integração dupla e mudança de ordem de integração.
Passo 2
A região
do plano
é dada por
Isto equivale a
porém como
só para
, para
temos
.
Passo 3
Invertendo a ordem, a integral se separa em dois pedaços:
[
\int_{0}{8}\int_{\sqrt[3]{y}}{8}e{x{4}},dx,dy
=\int_{x=0}{2}!\int_{y=0}{x{3}}e{x^{4}},dy,dx
+\int_{x=2}{8}!\int_{y=0}{8}e{x{4}},dy,dx.
\int_{0}{8}\int_{\sqrt[3]{y}}{8}e{x{4}},dx,dy
=\int_{x=0}{2}!\int_{y=0}{x{3}}e{x^{4}},dy,dx
+\int_{x=2}{8}!\int_{y=0}{8}e{x{4}},dy,dx.
Passo 4
Calculando a integral em
primeiro, como
é constante em
:
[
\int_{0}{2}\Bigl(e{x{4}}\int_{0}{x^{3}}dy\Bigr)dx
+\int_{2}{8}\Bigl(e{x{4}}\int_{0}{8}dy\Bigr)dx
=\int_{0}{2}x{3}e{x{4}},dx+\int_{2}{8}8e{x^{4}},dx.
\int_{0}{2}\Bigl(e{x{4}}\int_{0}{x^{3}}dy\Bigr)dx
+\int_{2}{8}\Bigl(e{x{4}}\int_{0}{8}dy\Bigr)dx
=\int_{0}{2}x{3}e{x{4}},dx+\int_{2}{8}8e{x^{4}},dx.
Passo 5
Para o primeiro termo usamos a substituição
, com
:
O segundo termo não possui antiderivada elementar, então fica na forma de integral.
Passo 6
Juntando tudo, a resposta final é: