integral 2 xraiz[3]6-5 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é integral 2xraiz[3]6 - 5x^2 , dx. O conteúdo que vamos usar aqui é de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função que, ao substituir por uma nova variável, facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para o denominador, vemos raiz[3]6 - 5x^2. Vamos definir u = 6 - 5x^2. Essa escolha ajuda porque a derivada de u em relação a x está presente no numerador.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u para encontrar du:
du = ddx(6 - 5x^2) , dx = -10x , dx
Isso significa que -10x , dx = du, ou seja, x , dx = -110 du.

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de u:
integral 2xraiz[3]6 - 5x^2 , dx = integral 2xu^1/3 , dx
Substituindo x , dx por -110 du:
= integral 2 cdot (-110 du)u^1/3 = -15 integral u^-1/3 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^-1/3 em relação a u:
integral u^-1/3 , du = u^2/323 + C = 32 u^2/3 + C
Multiplicando pelo fator -15:
-15 cdot 32 u^2/3 = -310 u^2/3 + C

Passo 6

Finalmente, vamos voltar à variável original substituindo u = 6 - 5x^2:
-310 (6 - 5x^2)^2/3 + C

Resposta

A integral vale -dfrac310 (6 - 5x^2)^2/3 + C.

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