integral x^2+2x+1 d x

Passo 1

Beleza, então temos a integral de x^2+2x+1 em relação a x. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções racionais (razão de polinômios). Para resolver isso, vamos precisar dividir o polinômio no numerador pelo polinômio no denominador para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a divisão polinomial de x^2 + 2 por x + 1. Isso vai nos ajudar a dividir o polinômio de grau mais alto pelo de grau menor.
Dividindo x^2 por x, obtemos x. Multiplicamos x por x + 1 e subtraímos do numerador:
x^2 + 2 & div x + 1 & = x (primeiro termo da divisão) & - (x cdot (x + 1)) = - (x^2 + x) & = -x + 2 ã
Então, temos x^2 + 2 = (x)(x + 1) + (-x + 2).

Passo 3

Agora, podemos reescrever a fração original usando a divisão que acabamos de fazer:
x^2 + 2x + 1 = x + -x + 2x + 1
Isso simplifica a integral para:
integral x^2 + 2x + 1 dx = integral ( x + -x + 2x + 1 ) dx

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
integral x , dx + integral -x + 2x + 1 dx
A primeira integral, integral x , dx, é direta. A segunda requer um pouco mais de atenção.

Passo 5

Para a segunda integral integral -x + 2x + 1 dx, podemos simplificar a fração dividindo:
-x + 2x + 1 = -1 + 3x + 1
Isso porque -x + 2 = -1(x + 1) + 3.

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral:
integral ( x ) dx + integral ( -1 + 3x + 1 ) dx
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Integrando termo a termo:
integral x , dx = x^22 + C1
integral -1 , dx = -x + C2
integral 3x + 1 dx = 3 ln|x + 1| + C3
Onde C1, C2 e C3 são constantes de integração.

Passo 8

Juntando tudo e simplificando as constantes:
x^22 - x + 3 ln|x + 1| + C
Onde C é a constante de integração geral.

Resposta

x^22 - x + 3 ln|x + 1| + C

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