Calcule a integral trocando a ordem de integração.
\int_{0}^{1} \int_{3 y}^{3} e^{x^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado dá a integral
\int_{0}^{1}\int_{3y}^{3} e^{x^{2}}\,dx\,dy
e pede que se calcule essa integral trocando a ordem de integração.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável externa é y com 0\le y\le1.
  • Para cada y, a variável interna x varia de x=3y até x=3.
  • A função a integrar é e^{x^{2}}.
O que se pede: reescrever a integral com integração em y interna e em x externa (trocar a ordem) e então calcular o valor numérico da integral.

Passo 2

Descrever a região de integração no plano xy. A condição original é
0\le y\le1,\qquad 3y\le x\le 3.
Isso corresponde ao conjunto de pontos (x,y) tais que:
  • y está entre 0 e 1,
  • para cada y, x vai de 3y até 3.
Vou traduzir essas desigualdades para obter limites em função de x. Da desigualdade 3y\le x segue
y\le \frac{x}{3}.
Além disso temos y\ge0 e y\le1. Para um dado x, y deve satisfazer 0\le y\le \min\!\left(1,\frac{x}{3}\right).
Agora achar o intervalo de x: como x vai de 3y até 3 enquanto y percorre 0 a 1, o menor valor de x ocorre em y=0, dando x_{\min}=0; o maior valor é sempre 3. Portanto 0\le x\le 3. Para esses x temos \frac{x}{3} variando de 0 até 1, então \min(1,\frac{x}{3})=\frac{x}{3}. Logo, para 0\le x\le3 temos 0\le y\le \frac{x}{3}.

Passo 3

Escrever a integral com a ordem trocada usando os limites encontrados. Assim
\int_{0}^{1}\int_{3y}^{3} e^{x^{2}}\,dx\,dy = \int_{0}^{3}\int_{0}^{x/3} e^{x^{2}}\,dy\,dx.
Observação didática rápida: trocar a ordem é útil aqui porque a antiderivada de e^{x^{2}} em x não é elementar, enquanto integrando primeiro em y essa função é constante em y e a integração fica simples.

Passo 4

Fazer a integração interna em y. Como e^{x^{2}} é tratada como constante quando se integra em y,
\int_{0}^{x/3} e^{x^{2}}\,dy = e^{x^{2}}\cdot \left[y\right]_{0}^{x/3} = e^{x^{2}}\cdot\frac{x}{3} = \frac{x}{3} e^{x^{2}}.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{3}\frac{x}{3} e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{3}\int_{0}^{3} x e^{x^{2}}\,dx.

Passo 5

Resolver a integral restante por substituição. Faça a substituição
u = x^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{du}{2}.
Quando x=0 temos u=0. Quando x=3 temos u=9. Assim
\frac{1}{3}\int_{0}^{3} x e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{3}\int_{u=0}^{9} e^{u}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{6}\int_{0}^{9} e^{u}\,du.

Passo 6

Calcular a integral exponencial simples:
\frac{1}{6}\int_{0}^{9} e^{u}\,du = \frac{1}{6}\left[e^{u}\right]_{0}^{9} = \frac{1}{6}\left(e^{9}-e^{0}\right) = \frac{1}{6}\left(e^{9}-1\right).

Resposta

\displaystyle \frac{e^{9}-1}{6}

Exercícios relacionados