Calcule a integral trocando a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado dá a integral
e pede que se calcule essa integral trocando a ordem de integração.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A variável externa é
com . - Para cada
, a variável interna varia de até . - A função a integrar é
.
O que se pede: reescrever a integral com integração em
interna e em
externa (trocar a ordem) e então calcular o valor numérico da integral.
Passo 2
Descrever a região de integração no plano
. A condição original é
Isso corresponde ao conjunto de pontos
tais que:
-
está entre e , - para cada
, vai de até .
Vou traduzir essas desigualdades para obter limites em função de
. Da desigualdade
segue
Além disso temos
e
. Para um dado
,
deve satisfazer
.
Agora achar o intervalo de
: como
vai de
até
enquanto
percorre
a
, o menor valor de
ocorre em
, dando
; o maior valor é sempre
. Portanto
. Para esses
temos
variando de
até
, então
. Logo, para
temos
.
Passo 3
Escrever a integral com a ordem trocada usando os limites encontrados. Assim
Observação didática rápida: trocar a ordem é útil aqui porque a antiderivada de
em
não é elementar, enquanto integrando primeiro em
essa função é constante em
e a integração fica simples.
Passo 4
Fazer a integração interna em
. Como
é tratada como constante quando se integra em
,
Portanto a integral reduz-se a
Passo 5
Resolver a integral restante por substituição. Faça a substituição
Quando
temos
. Quando
temos
. Assim
Passo 6
Calcular a integral exponencial simples: