Um capital é aplicado a juros compostos de 2,5 \% ao mês durante 10 meses, gerando um montante que será utilizado para pagar uma dívida em 5 parcelas mensais iguais, com taxa de 1,5 \% ao mês. Determine o valor das parcelas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dado: um capital inicial vou chamar de C (valor numérico não fornecido).
  • Esse capital é aplicado a juros compostos de 2{,}5\% ao mês durante 10 meses.
  • O montante obtido ao final desses 10 meses será usado para pagar uma dívida em 5 parcelas mensais iguais.
  • As parcelas são remuneradas (ou descontadas) a uma taxa de 1{,}5\% ao mês.
  • O enunciado pede: determinar o valor de cada parcela (em função de C, já que C não foi dado).
Informações numéricas que vou usar (colocadas em forma de variáveis para ficar claro):
  • Taxa da aplicação: i_1 = 0,025 (isso é 2{,}5\% por mês).
  • Número de meses da aplicação: n_1 = 10.
  • Taxa das parcelas (juros da dívida): i_2 = 0,015 (isso é 1{,}5\% por mês).
  • Número de parcelas: n_2 = 5.
A partir daqui passo a passo vou calcular o montante da aplicação e depois transformar esse montante no valor presente das 5 parcelas para achar o valor de cada parcela.

Passo 2

Calcular o montante depois da aplicação de C por 10 meses a 2{,}5\% ao mês.
Conceito / fórmula usada:
  • Juros compostos: o montante M de um capital C aplicado à taxa mensal i por n meses é
M = C(1+i)^n.
Aqui C é o capital inicial, i é a taxa por período (em decimal) e n o número de períodos.
Aplicando aos nossos dados:
M = C(1+0,025)^{10} = C(1,025)^{10}.
Agora calculo (1,025)^{10} por multiplicações sucessivas (para que dê para reproduzir em prova sem depender de mágica de função):
\begin{aligned} (1,025)^1 &= 1,025,\\\ (1,025)^2 &= 1,025\cdot1,025 = 1,050625,\\\ (1,025)^3 &= 1,050625\cdot1,025 = 1,076890625,\\\ (1,025)^4 &= 1,076890625\cdot1,025 = 1,103812890625,\\\ (1,025)^5 &= 1,103812890625\cdot1,025 = 1,131407212890625,\\\ (1,025)^6 &= 1,131407212890625\cdot1,025 = 1,1596923932128906,\\\ (1,025)^7 &= 1,1596923932128906\cdot1,025 = 1,1886847030432129,\\\ (1,025)^8 &= 1,1886847030432129\cdot1,025 = 1,2184018206182933,\\\ (1,025)^9 &= 1,2184018206182933\cdot1,025 = 1,2488613661337506,\\\ (1,025)^{10} &= 1,2488613661337506\cdot1,025 = 1,2800833997875944. \end{aligned}
Portanto
M = C\cdot 1,2800833997875944 \approx C\cdot 1,2800834.

Passo 3

Relacionar o montante M com o valor das parcelas mensais iguais e explicar a fórmula que vamos usar.
Conceito / fórmula usada:
  • Quando se tem uma série de n parcelas iguais R pagas ao final de cada período e a taxa por período é i, o valor presente (no momento imediatamente antes do primeiro pagamento) dessa anuidade imediata é a soma geométrica
\text{PV} = R\left(\frac{1}{1+i}+\frac{1}{(1+i)^2}+\cdots+\frac{1}{(1+i)^n}\right).
Essa soma é uma progressão geométrica e pode ser simplificada para a fórmula padrão
\text{PV} = R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Aqui R é o valor de cada parcela, i a taxa por período (em decimal) e n o número de parcelas. Essa fórmula vem de somar a série geométrica e fatorar R.
No nosso problema, o montante M (obtido no final dos 10 meses da aplicação) será usado como valor presente para pagar as 5 parcelas; ou seja:
M = R\cdot\frac{1-(1+i_2)^{-n_2}}{i_2}.
Queremos isolar R, portanto
R = M\cdot\frac{i_2}{1-(1+i_2)^{-n_2}}.
Agora vamos colocar os números: i_2=0,015 e n_2=5. Substituindo:
R = M\cdot\frac{0,015}{1-(1,015)^{-5}}.

Passo 4

Calcular numericamente o fator \dfrac{0,015}{1-(1,015)^{-5}} e então substituir M em termos de C.
Primeiro calculo (1,015)^5 por multiplicações sucessivas:
\begin{aligned} (1,015)^1 &= 1,015,\\\ (1,015)^2 &= 1,015\cdot1,015 = 1,030225,\\\ (1,015)^3 &= 1,030225\cdot1,015 = 1,045678375,\\\ (1,015)^4 &= 1,045678375\cdot1,015 = 1,061363550625,\\\ (1,015)^5 &= 1,061363550625\cdot1,015 = 1,077284003884375. \end{aligned}
Logo
(1,015)^{-5} = \frac{1}{1,077284003884375} \approx 0,9282596.
Assim
1-(1,015)^{-5} \approx 1-0,9282596 = 0,0717404.
Agora o quociente:
\frac{0,015}{0,0717404} \approx 0,209191.
Portanto
R \approx M\cdot 0,209191.
Substituindo M = C\cdot 1,2800833997875944 (do Passo 2):
R \approx C\cdot 1,2800833997875944 \cdot 0,209191.
Faço a multiplicação numérica detalhada (para que possa reproduzir na prova):
\begin{aligned} 1,2800833997875944\cdot 0,209191 &= 1,2800833997875944\cdot(0,21-0,000809)\\\ &= 1,2800833997875944\cdot 0,21 - 1,2800833997875944\cdot 0,000809\\\ &= 0,2688175139554148 - 0,0010355874929143\\\ &\approx 0,2677819264625005. \end{aligned}
Arredondando razoavelmente (duas ou três casas decimais é comum em parcelas monetárias), obtemos
R \approx 0,267782\;C.
Interpretação: cada parcela mensal é cerca de 26{,}7782\% do capital inicial C. Em outras palavras, se o capital inicial for, por exemplo, C=1000 (unidades monetárias), cada parcela seria aproximadamente R\approx 267{,}78.

Passo 5

Resumo do processo (como pensar na prova):
  • Calcule o montante da aplicação com a fórmula dos juros compostos M=C(1+i_1)^{n_1}.
  • Equacione esse montante ao valor presente da anuidade das parcelas usando \text{PV}=R\cdot\frac{1-(1+i_2)^{-n_2}}{i_2}.
  • Isole R e calcule os fatores numéricos com multiplicações sucessivas de potências para evitar depender de logaritmos ou calculadora avançada.
  • Por fim, substitua e simplifique para obter R em função de C.

Resposta

R \approx 0,2677819265\;C \approx 0,267782\;C

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