Um capital é aplicado a juros compostos de
ao mês durante 10 meses, gerando um montante que será utilizado para pagar uma dívida em 5 parcelas mensais iguais, com taxa de
ao mês. Determine o valor das parcelas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dado: um capital inicial vou chamar de
(valor numérico não fornecido). - Esse capital é aplicado a juros compostos de
ao mês durante meses. - O montante obtido ao final desses
meses será usado para pagar uma dívida em parcelas mensais iguais. - As parcelas são remuneradas (ou descontadas) a uma taxa de
ao mês. - O enunciado pede: determinar o valor de cada parcela (em função de
, já que não foi dado).
Informações numéricas que vou usar (colocadas em forma de variáveis para ficar claro):
- Taxa da aplicação:
(isso é por mês). - Número de meses da aplicação:
. - Taxa das parcelas (juros da dívida):
(isso é por mês). - Número de parcelas:
.
A partir daqui passo a passo vou calcular o montante da aplicação e depois transformar esse montante no valor presente das 5 parcelas para achar o valor de cada parcela.
Passo 2
Calcular o montante depois da aplicação de
por
meses a
ao mês.
Conceito / fórmula usada:
- Juros compostos: o montante
de um capital aplicado à taxa mensal por meses é
Aqui
é o capital inicial,
é a taxa por período (em decimal) e
o número de períodos.
Aplicando aos nossos dados:
Agora calculo
por multiplicações sucessivas (para que dê para reproduzir em prova sem depender de mágica de função):
Portanto
Passo 3
Relacionar o montante
com o valor das parcelas mensais iguais e explicar a fórmula que vamos usar.
Conceito / fórmula usada:
- Quando se tem uma série de
parcelas iguais pagas ao final de cada período e a taxa por período é , o valor presente (no momento imediatamente antes do primeiro pagamento) dessa anuidade imediata é a soma geométrica
Essa soma é uma progressão geométrica e pode ser simplificada para a fórmula padrão
Aqui
é o valor de cada parcela,
a taxa por período (em decimal) e
o número de parcelas. Essa fórmula vem de somar a série geométrica e fatorar
.
No nosso problema, o montante
(obtido no final dos 10 meses da aplicação) será usado como valor presente para pagar as
parcelas; ou seja:
Queremos isolar
, portanto
Agora vamos colocar os números:
e
. Substituindo:
Passo 4
Calcular numericamente o fator
e então substituir
em termos de
.
Primeiro calculo
por multiplicações sucessivas:
Logo
Assim
Agora o quociente:
Portanto
Substituindo
(do Passo 2):
Faço a multiplicação numérica detalhada (para que possa reproduzir na prova):
Arredondando razoavelmente (duas ou três casas decimais é comum em parcelas monetárias), obtemos
Interpretação: cada parcela mensal é cerca de
do capital inicial
. Em outras palavras, se o capital inicial for, por exemplo,
(unidades monetárias), cada parcela seria aproximadamente
.
Passo 5
Resumo do processo (como pensar na prova):
- Calcule o montante da aplicação com a fórmula dos juros compostos
. - Equacione esse montante ao valor presente da anuidade das parcelas usando
. - Isole
e calcule os fatores numéricos com multiplicações sucessivas de potências para evitar depender de logaritmos ou calculadora avançada. - Por fim, substitua e simplifique para obter
em função de .