Uma empresa possui um titulo de \mathrm{R} \ 60.000,00 com vencimento em 9 meses. Decide aplicar o valor atual equivalente hoje a juros compostos de2 % ao mês até o vencimento. Considerando desconto comercial deêé3 %$ ao mês, qual será o valor final acumulado na data do vencimento?

Passo 1

O enunciado dá um título com valor nominal (face) \mathrm{R}\$\,60.000,00 vencendo em 9 meses. A empresa vai obter hoje o valor atual desse título usando desconto comercial de 3\% ao mês e, com esse valor recebido hoje, aplicar à taxa de juros compostos de 2\% ao mês até a data do vencimento.
Pergunta: qual será o valor final acumulado na data do vencimento?
Informações relevantes (pegas do enunciado):
  • Valor nominal (face) do título: N=\mathrm{R}\$\,60.000{,}00.
  • Prazo até vencimento: n=9 meses.
  • Taxa de desconto comercial: d=3\% ao mês =0{,}03 por mês.
  • Taxa de juros compostos para aplicar o valor hoje: i=2\% ao mês =0{,}02 por mês.

Passo 2

Entender o desconto comercial (também chamado de desconto por fora): esse desconto calcula um abatimento linear sobre o valor nominal proporcional ao prazo. A fórmula do desconto comercial total é
D_c = N \cdot d \cdot n,
onde D_c é o valor descontado (quanto se subtrai do nominal), N é o valor nominal, d é a taxa de desconto por período e n é o número de períodos. O valor atual (o que se recebe hoje) é
A = N - D_c = N(1 - d n).
Vamos aplicar os números:
D_c = 60{.}000\cdot 0{,}03\cdot 9 = 60{.}000\cdot 0{,}27 = 16{.}200.
A = 60{.}000 - 16{.}200 = 43{.}800.
Portanto, a empresa recebe hoje \mathrm{R}\$\,43.800{,}00.

Passo 3

Agora explicar juros compostos: se um capital A é aplicado à taxa i por n períodos, o montante (valor acumulado) ao final é dado por
S = A(1+i)^n,
onde S é o montante, A é o capital inicial, i é a taxa por período e n o número de períodos. Aqui A é o valor que obtivemos no Passo 2, i=0{,}02 e n=9.

Passo 4

Calcular passo a passo (1+i)^n=(1{,}02)^9 por multiplicações sucessivas (para que dê pra fazer na prova sem logaritmos):
\begin{aligned} (1{,}02)^1 &= 1{,}02,\\\ (1{,}02)^2 &= 1{,}0404,\\\ (1{,}02)^3 &= 1{,}061208,\\\ (1{,}02)^4 &= 1{,}08243216,\\\ (1{,}02)^5 &= 1{,}1040808032,\\\ (1{,}02)^6 &= 1{,}126162419264,\\\ (1{,}02)^7 &= 1{,}14868566764928,\\\ (1{,}02)^8 &= 1{,}1716593810022656,\\\ (1{,}02)^9 &= 1{,}195092568622311. \end{aligned}
Agora o montante:
S = 43{.}800 \times 1{,}195092568622311 \approx 52{.}345{,}05.

Passo 5

Interpretação rápida: o valor acumulado na data do vencimento será menor que o valor nominal \mathrm{R}\$\,60.000{,}00 porque o desconto comercial aplicado (3% ao mês por 9 meses = abatimento de 27\%) reduz muito o capital inicial recebido; depois ele é aplicado a uma taxa menor (2% ao mês), por isso não recupera totalmente os \mathrm{R}\$\,60.000{,}00. Isso faz sentido financeiro e é um bom checagem de sinal.

Resposta

\mathrm{R}\$\,52.345{,}05

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