Calcule a integral trocando a ordem de integração
integral0^2 integralraizy^raiz2 raizx^3+1 d x d y
Resposta: square

Passo 1

Beleza, temos que calcular
integral0^2integralraiz y^raiz2raizx^3+1,dx,dy
Isso é um exercício de integração dupla e vamos trocar a ordem de integração.
O que precisamos fazer:
  1. Entender a região de integração no plano xy.
  2. Inverter os limites de integração (escrever em ordem dx,dy para dy,dx).
  3. Calcular a nova integral.

Passo 2

Desenhando a região:
  • y vai de 0 até 2.
  • Para cada y, x vai de raiz y até raiz2.
Essa região é
R=(x,y)mid 0<= y<=2,;raiz y<= x<=raiz2
Se a gente trocar, para um x fixo temos:
  1. raiz y<= x y<= x^2.
  2. y>=0.
  3. x<=raiz2.
    No total:
0<= x<=raiz2, 0<= y<= x^2
Então a integral vira
integralx=0^raiz2integraly=0^x^2raizx^3+1,dy,dx

Passo 3

Agora integramos primeiro em y:
integral0^x^2raizx^3+1,dy =raizx^3+1,l[yr]0^x^2 =x^2raizx^3+1
Logo a integral duplicada virou
integral0^raiz2x^2raizx^3+1,dx

Passo 4

Fazemos a substituição
u = x^3+1Longrightarrow du=3x^2,dxLongrightarrow x^2,dx=du3
Então
integral x^2raizx^3+1,dx =integral u^1/2,du3 =13cdotu^3/23/2 =29u^3/2 =29(x^3+1)^3/2
Agora aplicamos os limites de 0 a raiz2:
integral0^raiz2x^2raizx^3+1,dx =29l[(x^3+1)^3/2r]0^raiz2 =29l[(2raiz2+1)^3/2-1r]

Resposta

boxed29l[(2raiz2+1)^3/2-1r]

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