Usando coordenadas polares calcule
integral duplaR(x+y) d A,
onde R é a região que está à direita do eixo y e entre as retas y=-x, y=x e a circunferência x^2+y^2=1.
Resposta: square

Passo 1

Então, o que a questão pede? A gente precisa calcular a integral dupla
integral duplaR(x+y),dA,
onde R é a região dentro do círculo x^2+y^2=1, à direita do eixo y (ou seja, x>=0) e entre as retas y=x e y=-x.
Conteúdo: integração em coordenadas polares, uso do jacobiano e mudança de limites.

Passo 2

Vamos descrever R em coordenadas polares (r,theta):
  • A circunferência x^2+y^2=1 vira r=1.
  • A reta y=x corresponde a theta=tfracpi4; a reta y=-x a theta=-tfracpi4.
  • Como estamos no semiplano x>=0, o theta vai de -tfracpi4 até +tfracpi4.
  • O r parte de 0 e chega até 1.

Passo 3

Agora, trocamos x e y por:
x = rcostheta, y = rsintheta,
então
x+y = rcostheta + rsintheta = r,(costheta + sintheta),
e o elemento de área dA vira
dA = r,dr,dtheta
Logo, a integral fica
integral duplaR(x+y),dA =integraltheta=-pi/4^pi/4integralr=0^1 l[r(costheta+sintheta)r];r,dr,dtheta =integral-pi/4^pi/4integral0^1r^2(costheta+sintheta),dr,dtheta

Passo 4

Primeiro, integramos em r:
integral0^1r^2,dr = 13
Então nossa integral vira
13integral-pi/4^pi/4(costheta+sintheta),dtheta
Agora, a primitiva de costheta+sintheta é
integral(costheta+sintheta),dtheta =sintheta - costheta
Avaliando entre -tfracpi4 e tfracpi4:
l[sintheta - costhetar]-pi/4^pi/4 = l(tfracraiz22-tfracraiz22r) - l(-tfracraiz22-tfracraiz22r) = 0 -(-raiz2) = raiz2
Multiplicando pelo tfrac13, dá tfracraiz23.

Resposta

raiz23

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