\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa soma infinita:
. O que estamos olhando aqui é uma série, mais especificamente uma série infinita. Para resolver esse tipo de problema, vamos precisar usar a técnica de frações parciais para simplificar os termos da soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
usando frações parciais. Isso significa que vamos quebrar essa fração em uma soma de frações mais simples que somam até a original. A ideia é encontrar constantes
,
,
e
tais que:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos encontrar os valores de
,
,
e
substituindo valores específicos de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Agora que temos os valores de
,
,
e
, podemos reescrever a fração original:
Passo 5
Vamos agora somar essa expressão de
até
:
Perceba que essa soma é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos de
ao infinito.
Passo 6
Ao expandir os primeiros termos da série, observamos que a maior parte deles se cancela:
Após o cancelamento, sobrará apenas os primeiros termos que não se cancelam.
Passo 7
Calculando os termos que não se cancelam:
No entanto, como a série é infinita, devemos considerar que os termos que “sobram” são:
Resposta
A soma da série infinita é
.