\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa soma infinita: sumk=1^+infty 1k(k+1)(k+2)(k+3). O que estamos olhando aqui é uma série, mais especificamente uma série infinita. Para resolver esse tipo de problema, vamos precisar usar a técnica de frações parciais para simplificar os termos da soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração 1k(k+1)(k+2)(k+3) usando frações parciais. Isso significa que vamos quebrar essa fração em uma soma de frações mais simples que somam até a original. A ideia é encontrar constantes A, B, C e D tais que:
1k(k+1)(k+2)(k+3) = Ak + Bk+1 + Ck+2 + Dk+3

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação por k(k+1)(k+2)(k+3) para eliminar os denominadores, temos:
1 = A(k+1)(k+2)(k+3) + B(k)(k+2)(k+3) + C(k)(k+1)(k+3) + D(k)(k+1)(k+2)
Agora, vamos encontrar os valores de A, B, C e D substituindo valores específicos de k:
  • Para k = 0:
1 = A(1)(2)(3) Rightarrow 1 = 6A Rightarrow A = 16
  • Para k = -1:
1 = B(-1)(1)(2) Rightarrow 1 = -2B Rightarrow B = -12
  • Para k = -2:
1 = C(-2)(-1)(1) Rightarrow 1 = 2C Rightarrow C = 12
  • Para k = -3:
1 = D(-3)(-2)(-1) Rightarrow 1 = -6D Rightarrow D = -16

Passo 4

Agora que temos os valores de A, B, C e D, podemos reescrever a fração original:
1k(k+1)(k+2)(k+3) = 16k - 12(k+1) + 12(k+2) - 16(k+3)

Passo 5

Vamos agora somar essa expressão de k = 1 até +infty:
sumk=1^+infty ( 16k - 12(k+1) + 12(k+2) - 16(k+3) )
Perceba que essa soma é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos de k = 1 ao infinito.

Passo 6

Ao expandir os primeiros termos da série, observamos que a maior parte deles se cancela:
( 16 cdot 1 - 12 cdot 2 + 12 cdot 3 - 16 cdot 4 ) + ( 16 cdot 2 - 12 cdot 3 + 12 cdot 4 - 16 cdot 5 ) + dots
Após o cancelamento, sobrará apenas os primeiros termos que não se cancelam.

Passo 7

Calculando os termos que não se cancelam:
16 cdot 1 - 12 cdot 2 = 16 - 14 = 212 - 312 = -112
No entanto, como a série é infinita, devemos considerar que os termos que “sobram” são:
16 - 14 + 16 = 16 - 14 + 16 = 26 - 14 = 13 - 14 = 112

Resposta

A soma da série infinita é 112.

Exercícios relacionados