Calcule a integral trocando a ordem de integração.
integral0^4 integralraizy^2 e^x^3 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular uma integral dupla, mas trocando a ordem de integração. Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudança de variáveis de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e usar substituição para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração atuais. A integral é:
integral0^4 integralraizy^2 e^x^3 , dx , dy
Aqui, $ y $ vai de 0 a 4, e para cada $ y $, $ x $ vai de $ \sqrt{y} $ até 2. Vamos desenhar isso para visualizar melhor.

Passo 3

Desenhando o domínio de integração no plano $ xy $, temos:
  • $ y $ varia de 0 a 4.
  • $ x $ varia de $ \sqrt{y} $ a 2.
Isso significa que estamos integrando sobre uma região onde $ x $ está entre $ \sqrt{y} $ e 2, e $ y $ está de 0 a 4.

Passo 4

Agora, vamos trocar a ordem de integração. Para isso, precisamos expressar os limites de $ y $ em termos de $ x $. Observando, quando $ x $ varia de 0 a 2, $ y $ varia de 0 até $ x^{2} $ (pois $ y = x^{2} $ quando $ x = \sqrt{y} $).
Então, a integral fica:
y

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a $ y $. Como $ e{x{3}} $ não depende de $ y $, a integral fica mais simples:
y

Passo 6

Substituindo isso na integral externa, temos:
integral0^2 e^x^3 cdot x^2 , dx
Agora, vamos resolver essa integral usando substituição.

Passo 7

Vamos fazer a substituição $ u = x^{3} $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é $ du = 3x^{2} , dx $, ou seja, $ x^{2} , dx = \frac{1}{3} du $.
Substituindo na integral:
u = x^3
(Note que quando $ x = 0 $, $ u = 0 $ e quando $ x = 2 $, $ u = 8 $)

Passo 8

Agora, a integral de $ e^{u} $ é simples:
e^u

Resposta

A integral vale e^8 - 13.

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