Calcule a integral trocando a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular uma integral dupla, mas trocando a ordem de integração. Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudança de variáveis de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e usar substituição para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração atuais. A integral é:
Aqui, $ y $ vai de 0 a 4, e para cada $ y $, $ x $ vai de $ \sqrt{y} $ até 2. Vamos desenhar isso para visualizar melhor.
Passo 3
Desenhando o domínio de integração no plano $ xy $, temos:
$ y $ varia de 0 a 4.
$ x $ varia de $ \sqrt{y} $ a 2.
Isso significa que estamos integrando sobre uma região onde $ x $ está entre $ \sqrt{y} $ e 2, e $ y $ está de 0 a 4.
Passo 4
Agora, vamos trocar a ordem de integração. Para isso, precisamos expressar os limites de $ y $ em termos de $ x $. Observando, quando $ x $ varia de 0 a 2, $ y $ varia de 0 até $ x^{2} $ (pois $ y = x^{2} $ quando $ x = \sqrt{y} $).
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a $ y $. Como $ e{x{3}} $ não depende de $ y $, a integral fica mais simples:
Passo 6
Substituindo isso na integral externa, temos:
integral0^2 e^x^3 cdot x^2 , dx
Agora, vamos resolver essa integral usando substituição.
Passo 7
Vamos fazer a substituição $ u = x^{3} $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é $ du = 3x^{2} , dx $, ou seja, $ x^{2} , dx = \frac{1}{3} du $.
Substituindo na integral:
u = x^3
(Note que quando $ x = 0 $, $ u = 0 $ e quando $ x = 2 $, $ u = 8 $)