Encontre a taxa máxima de variação de
no ponto (
).
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. Pede para encontrar a taxa máxima de variação de
nesse ponto.
Dados fornecidos relevantes:
Dados fornecidos relevantes:
- A expressão de
. - O ponto onde avaliar a taxa de variação:
.
Passo 2
Conceitos que vou usar (explicação didática, sem pular etapas):
- A taxa de variação de
numa direção dada por um vetor unitário no ponto é chamada derivada direcional e é dada por
Aqui:
-
é o gradiente de no ponto , um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de no ponto . -
é um vetor unitário (ou seja, ). -
O símbolo
indica o produto escalar (dot product) entre vetores. -
O gradiente
é definido como
Cada componente é a taxa de variação de
em relação àquela coordenada, mantendo as outras constantes.
- Intuição e resultado chave: para vetores
e ,
onde
é o ângulo entre
e
. Se
, então
. Assim, variando a direção
(mantendo
), o produto
atinge seu máximo quando
, ou seja, quando
é paralelo a
. Daí vem que a taxa máxima de variação de
no ponto
é exatamente o comprimento do gradiente
.
Vou aplicar isso: calcular
, avaliá-lo em
e tirar seu módulo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Fazer cada conta devagar:
- Para
: trate e como constantes. A função é . A derivada de em relação a é (porque é constante em relação a ). A derivada de em relação a é . Logo
- Para
: trate e como constantes. A derivada de em relação a é (regra da cadeia: derivada de é , multiplicada por ). A derivada de em relação a é . Logo
- Para
: derive em relação a , obtendo . A parte não depende de , então contribui . Logo
Portanto o gradiente geral é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
. Calcule cada componente substituindo
,
,
.
-
em é . Então a primeira componente é . -
em é . Segunda componente . -
em é . Terceira componente .
Logo
Passo 5
A taxa máxima de variação em
é o módulo do gradiente naquele ponto. Calcule o módulo de
:
Explicando: para qualquer vetor unitário
vale
. O máximo possível ao variar
(com
) ocorre quando
, dando
. Portanto a taxa máxima é
.
Passo 6
(Apenas como informação útil para a prova: direção onde ocorre essa taxa máxima.) A direção de máxima variação é a direção do próprio gradiente. O vetor unitário nessa direção é