Encontre a taxa máxima de variação de
f(x, y, z)=x e^{y}+z^{2}
no ponto ( 1,0,1 ).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x e^{y}+z^{2}
e o ponto (1,0,1). Pede para encontrar a taxa máxima de variação de f nesse ponto.
Dados fornecidos relevantes:
  • A expressão de f(x,y,z).
  • O ponto onde avaliar a taxa de variação: (1,0,1).

Passo 2

Conceitos que vou usar (explicação didática, sem pular etapas):
  • A taxa de variação de f numa direção dada por um vetor unitário u no ponto a é chamada derivada direcional e é dada por
D_{u}f(a)=\nabla f(a)\cdot u.
Aqui:
  • \nabla f(a) é o gradiente de f no ponto a, um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f no ponto a.
  • u é um vetor unitário (ou seja, \|u\|=1).
  • O símbolo \cdot indica o produto escalar (dot product) entre vetores.
  • O gradiente \nabla f é definido como
\displaystyle \nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Cada componente é a taxa de variação de f em relação àquela coordenada, mantendo as outras constantes.
  • Intuição e resultado chave: para vetores v e u,
v\cdot u=\|v\|\,\|u\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre v e u. Se \|u\|=1, então v\cdot u=\|v\|\cos\theta. Assim, variando a direção u (mantendo \|u\|=1), o produto v\cdot u atinge seu máximo quando \cos\theta=1, ou seja, quando u é paralelo a v. Daí vem que a taxa máxima de variação de f no ponto a é exatamente o comprimento do gradiente \|\nabla f(a)\|.
Vou aplicar isso: calcular \nabla f, avaliá-lo em (1,0,1) e tirar seu módulo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f. Fazer cada conta devagar:
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x}: trate y e z como constantes. A função é x e^{y}+z^{2}. A derivada de x e^{y} em relação a x é e^{y} (porque e^{y} é constante em relação a x). A derivada de z^{2} em relação a x é 0. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{y}.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y}: trate x e z como constantes. A derivada de x e^{y} em relação a y é x e^{y} (regra da cadeia: derivada de e^{y} é e^{y}, multiplicada por x). A derivada de z^{2} em relação a y é 0. Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=x e^{y}.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial z}: derive z^{2} em relação a z, obtendo 2z. A parte x e^{y} não depende de z, então contribui 0. Logo
\frac{\partial f}{\partial z}=2z.
Portanto o gradiente geral é
\nabla f(x,y,z)=\bigl(e^{y},\,x e^{y},\,2z\bigr).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (1,0,1). Calcule cada componente substituindo x=1, y=0, z=1.
  • e^{y} em y=0 é e^{0}=1. Então a primeira componente é 1.
  • x e^{y} em x=1,y=0 é 1\cdot e^{0}=1. Segunda componente 1.
  • 2z em z=1 é 2. Terceira componente 2.
Logo
\nabla f(1,0,1)=(1,\,1,\,2).

Passo 5

A taxa máxima de variação em (1,0,1) é o módulo do gradiente naquele ponto. Calcule o módulo de \nabla f(1,0,1)=(1,1,2):
\|\nabla f(1,0,1)\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.
Explicando: para qualquer vetor unitário u vale D_{u}f(1,0,1)=\nabla f(1,0,1)\cdot u=\|\nabla f(1,0,1)\|\cos\theta. O máximo possível ao variar u (com \|u\|=1) ocorre quando \cos\theta=1, dando \|\nabla f(1,0,1)\|. Portanto a taxa máxima é \sqrt{6}.

Passo 6

(Apenas como informação útil para a prova: direção onde ocorre essa taxa máxima.) A direção de máxima variação é a direção do próprio gradiente. O vetor unitário nessa direção é
u_{\text{máx}}=\frac{\nabla f(1,0,1)}{\|\nabla f(1,0,1)\|}=\frac{(1,1,2)}{\sqrt{6}}.á

Resposta

\sqrt{6}

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