Avalie a integral definida
[Dica: O integrando é uma função ímpar.]
[Dica: O integrando é uma função ímpar.]
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral definida
Informações fornecidas e importantes:
- O integrando é
. - Os limites de integração são simétricos em torno de zero: de
até . - A dica diz que o integrando é uma função ímpar.
A pergunta é: qual o valor numérico dessa integral?
Passo 2
Vamos lembrar, de forma bem direta, o que significa função par e função ímpar — isso é o que precisamos para usar a dica.
Definições:
- Uma função
é par se, para todo no domínio, vale . - Uma função
é ímpar se, para todo no domínio, vale .
Exemplos simples e por que:
- Para
: , logo é par. - Para
: , logo é ímpar. - Para
: como , e é ímpar ( ) e é par ( ), então ; assim é ímpar (no domínio onde está definida).
Propriedades úteis (rápidas e fáceis de aplicar):
- Produto de uma função par por uma ímpar é ímpar.
- Soma de duas funções ímpares é ímpar.
- Se uma função é ímpar e integrável em
, então a integral simétrica é zero (vamos provar já a seguir).
Passo 3
Determinando a paridade dos termos do integrando.
- Para
:
portanto
é ímpar.
- Para
:
-
é par porque . -
é ímpar porque .
Logo o produtoé par ímpar ímpar. Mais formalmente,
então
é ímpar.
- Soma:
Comoé ímpar e é ímpar, a soma
é soma de ímpares, portanto
é ímpar. Ou seja,
para todo
em
. Observação:
está bem definida em
, então não há problema de domínio.
Passo 4
Propriedade da integral de função ímpar em intervalo simétrico (prova curta e didática).
Se
é ímpar e integrável em
, então
Fazemos a substituição
. Então
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Como
é ímpar,
. Substituindo:
Portanto
, o que implica
.
Essa é a razão pela qual, quando temos uma função ímpar e os limites são simétricos
, a integral vale zero: a área positiva de um lado cancela exatamente a área negativa do outro lado.
Passo 5
Aplicando ao nosso caso.
Já vimos que o integrando
é ímpar e os limites são simétricos com
. Logo, pela propriedade do passo anterior,
(Uma verificação alternativa seria separar a integral em duas:
cada uma dessas integrais é zero porque cada integrando é ímpar — mesma conclusão.)