Avalie a integral definida
\int_{-\pi / 4}^{\pi / 4}\left(x^{3}+x^{4} \tan x\right) d x
[Dica: O integrando é uma função ímpar.]

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral definida
\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\bigl(x^{3}+x^{4}\tan x\bigr)\,dx.
Informações fornecidas e importantes:
  • O integrando é x^{3}+x^{4}\tan x.
  • Os limites de integração são simétricos em torno de zero: de -\pi/4 até \pi/4.
  • A dica diz que o integrando é uma função ímpar.
    A pergunta é: qual o valor numérico dessa integral?

Passo 2

Vamos lembrar, de forma bem direta, o que significa função par e função ímpar — isso é o que precisamos para usar a dica.
Definições:
  • Uma função f é par se, para todo x no domínio, vale \,f(-x)=f(x)\,.
  • Uma função f é ímpar se, para todo x no domínio, vale \,f(-x)=-f(x)\,.
Exemplos simples e por que:
  • Para x^{2}: (-x)^{2}=x^{2}, logo x^{2} é par.
  • Para x^{3}: (-x)^{3}=-x^{3}, logo x^{3} é ímpar.
  • Para \tan x: como \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, e \sin é ímpar ( \sin(-x)=-\sin x) e \cos é par ( \cos(-x)=\cos x), então \tan(-x)=-\tan x; assim \tan x é ímpar (no domínio onde está definida).
Propriedades úteis (rápidas e fáceis de aplicar):
  • Produto de uma função par por uma ímpar é ímpar.
  • Soma de duas funções ímpares é ímpar.
  • Se uma função é ímpar e integrável em [-a,a], então a integral simétrica é zero (vamos provar já a seguir).

Passo 3

Determinando a paridade dos termos do integrando.
  1. Para x^{3}:
(-x)^{3}=-x^{3},
portanto x^{3} é ímpar.
  1. Para x^{4}\tan x:
  • x^{4} é par porque (-x)^{4}=x^{4}.
  • \tan x é ímpar porque \tan(-x)=-\tan x.
    Logo o produto x^{4}\tan x é par \times ímpar = ímpar. Mais formalmente,
(-x)^{4}\tan(-x)=x^{4}\bigl(-\tan x\bigr)=-\bigl(x^{4}\tan x\bigr),
então x^{4}\tan x é ímpar.
  1. Soma:
    Como x^{3} é ímpar e x^{4}\tan x é ímpar, a soma
h(x)=x^{3}+x^{4}\tan x
é soma de ímpares, portanto h é ímpar. Ou seja,
h(-x)=-h(x)
para todo x em [- \pi/4,\pi/4]. Observação: \tan x está bem definida em [- \pi/4,\pi/4], então não há problema de domínio.

Passo 4

Propriedade da integral de função ímpar em intervalo simétrico (prova curta e didática).
Se f é ímpar e integrável em [-a,a], então
I=\int_{-a}^{a} f(x)\,dx.
Fazemos a substituição u=-x. Então du=-dx. Quando x=-a temos u=a; quando x=a temos u=-a. Assim
I=\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{a}^{-a} f(-u)\,(-du) = \int_{-a}^{a} f(-u)\,du.
Como f é ímpar, f(-u)=-f(u). Substituindo:
I=\int_{-a}^{a} -f(u)\,du = -\int_{-a}^{a} f(u)\,du = -I.
Portanto I=-I, o que implica I=0.
Essa é a razão pela qual, quando temos uma função ímpar e os limites são simétricos [-a,a], a integral vale zero: a área positiva de um lado cancela exatamente a área negativa do outro lado.

Passo 5

Aplicando ao nosso caso.
Já vimos que o integrando h(x)=x^{3}+x^{4}\tan x é ímpar e os limites são simétricos com a=\pi/4. Logo, pela propriedade do passo anterior,
\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\bigl(x^{3}+x^{4}\tan x\bigr)\,dx=0.
(Uma verificação alternativa seria separar a integral em duas:
\int_{-\pi/4}^{\pi/4} x^{3}\,dx + \int_{-\pi/4}^{\pi/4} x^{4}\tan x\,dx,
cada uma dessas integrais é zero porque cada integrando é ímpar — mesma conclusão.)

Resposta

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