Verdadeiro ou Falso. Justifique.
se “[a, b]=|a b|” e “[b, c]=|b c|” então “[a, c]=|a c|”.
se “[a, b]=|a b|” e “[b, c]=|b c|” então “[a, c]=|a c|”.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a escrita do enunciado é: "se
e então ". - Pergunta: determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar.
Observação importante (apenas listando dados e a pergunta): o enunciado usa duas notações que podem ter sentidos diferentes em contextos distintos:
às vezes designa o segmento (ou intervalo) com extremidades
e
(um conjunto de pontos), e
costuma designar o comprimento (a medida, um número) do segmento com extremos
e
. A partir do enunciado não é explicitado qual sentido preciso de cada notação; o objetivo aqui é decidir verdade/falsidade e justificar.
Passo 2
Explico as duas interpretações naturais e o que cada uma implicaria (para você ver o porquê da ambiguidade).
Interpretação A (geométrica padrão):
-
= segmento , isto é, o conjunto de pontos entre e . -
= comprimento do segmento , isto é, o número quando os pontos estão em uma reta com coordenadas, ou a distância entre e em geral.
Nessa interpretação a igualdade
está tentando igualar um conjunto (segmento) a um número (comprimento): é uma mistura de tipos (conjunto ≠ número). Em geral essa igualdade não faz sentido e quase nunca é verdadeira.
Interpretação B (notação usada por alguns autores):
-
e são duas notações diferentes para a mesma coisa: o comprimento do segmento com extremos e . Ou seja, ambos significam a distância entre e . Nesse caso cada uma das igualdades do enunciado é simplesmente uma identidade notacional e a hipótese não traz informação nova além de definir notações.
Passo 3
Análise sob a Interpretação A (segmento como conjunto vs comprimento como número).
-
Explicar por que a afirmação é falsa (ou sem sentido) sob essa interpretação: um segmento é um conjunto de pontos; o comprimento é um número. Não se pode (em geral) ter igualdade entre um conjunto e um número. Por exemplo, tome pontos na reta com coordenadas
, , . - O segmento
é o conjunto . - O comprimento
é o número . - Claramente
. Assim a hipótese já falha para estes valores; a hipótese é, portanto, em geral não verdadeira e a implicação proposta não tem sentido lógico a partir de hipóteses sem sentido.
- O segmento
-
Conclusão desta interpretação: a afirmação, tal como escrita, é falsa ou mal formulada (mistura tipos diferentes). Não existe justificativa válida que deduza uma igualdade entre um conjunto e um número a partir de igualdades semelhantes para pares distintos.
Passo 4
Análise sob a Interpretação B (ambas as notações significam comprimento/distância).
-
Se adotarmos que
e são apenas duas notações para a distância entre e , então as hipóteses são tautologias (afirmam que duas notações representam a mesma quantidade) e não impõem nenhuma relação nova entre. Também a igualdade seria, sob essa interpretação, outra tautologia notacional. Nesse sentido estrito a implicação é verdadeira apenas porque todas as três expressões querem dizer a mesma coisa: comprimento de, comprimento de e comprimento de , respectivamente. Mas nesse caso o enunciado é trivial e pouco informativo — é só confundir notações. -
Portanto, sob esta interpretação a afirmação não é uma propriedade geométrica interessante; é apenas uma declaração de que duas notações coincidem, e então a conclusão também coincide por definição.
Passo 5
Escolhendo a interpretação adequada para responder ao exercício (justificativa do que vou considerar):
- Em contexto matemático correto costuma-se distinguir entre o segmento (conjunto) e o seu comprimento (número). A forma escrita do enunciado mistura claramente as duas notações, o que indica que o enunciado está, ao menos, mal escrito ou ambíguo.
- Para dar uma resposta útil para uma prova, a interpretação que faz o enunciado não-trivial e que permite dar um contraexemplo é a Interpretação A (segmento ≠ comprimento). Assim vou concluir que, conforme escrito, a afirmação é falsa (ou mal formulada) porque mistura objetos de tipos diferentes; mostro um exemplo concreto que torna evidente o problema.
Passo 6
Contraexemplo concreto (mostrando falsidade/malformulação):
-
Tome
pontos na reta. - O segmento
é (um conjunto). - O comprimento
é o número . - Logo
(conjunto diferente de número), então a hipótese do enunciado já é falsa/sem sentido aqui.
- O segmento
-
Mesmo se alguém quisesse forçar as hipóteses a serem “verdadeiras” de algum modo, não existe argumento que, a partir de igualdades envolvendo apenas os pares
e , force automaticamente uma igualdade do mesmo tipo para o par , porque são objetos distintos (ou, se são notações iguais, a afirmação é apenas tautológica). Assim a formulação não permite deduzir uma igualdade legítima entre e sem clarificar o que cada símbolo significa.
Resposta
Falso