Verdadeiro ou Falso. Justifique.
se “[a, b]=|a b|” e “[b, c]=|b c|” então “[a, c]=|a c|”.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a escrita do enunciado é: "se [a,b]=|ab| e [b,c]=|bc| então [a,c]=|ac|".
  • Pergunta: determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar.
Observação importante (apenas listando dados e a pergunta): o enunciado usa duas notações que podem ter sentidos diferentes em contextos distintos: [x,y] às vezes designa o segmento (ou intervalo) com extremidades x e y (um conjunto de pontos), e |xy| costuma designar o comprimento (a medida, um número) do segmento com extremos x e y. A partir do enunciado não é explicitado qual sentido preciso de cada notação; o objetivo aqui é decidir verdade/falsidade e justificar.

Passo 2

Explico as duas interpretações naturais e o que cada uma implicaria (para você ver o porquê da ambiguidade).
Interpretação A (geométrica padrão):
  • [a,b] = segmento AB, isto é, o conjunto de pontos entre a e b.
  • |ab| = comprimento do segmento AB, isto é, o número |a-b| quando os pontos estão em uma reta com coordenadas, ou a distância entre a e b em geral.
Nessa interpretação a igualdade [a,b]=|ab| está tentando igualar um conjunto (segmento) a um número (comprimento): é uma mistura de tipos (conjunto ≠ número). Em geral essa igualdade não faz sentido e quase nunca é verdadeira.
Interpretação B (notação usada por alguns autores):
  • [a,b] e |ab| são duas notações diferentes para a mesma coisa: o comprimento do segmento com extremos a e b. Ou seja, ambos significam a distância entre a e b. Nesse caso cada uma das igualdades do enunciado é simplesmente uma identidade notacional e a hipótese não traz informação nova além de definir notações.

Passo 3

Análise sob a Interpretação A (segmento como conjunto vs comprimento como número).
  • Explicar por que a afirmação é falsa (ou sem sentido) sob essa interpretação: um segmento é um conjunto de pontos; o comprimento é um número. Não se pode (em geral) ter igualdade entre um conjunto e um número. Por exemplo, tome pontos na reta com coordenadas a=0, b=1, c=2.
    • O segmento [a,b] é o conjunto [0,1].
    • O comprimento |ab| é o número 1.
    • Claramente [0,1]\neq 1. Assim a hipótese [a,b]=|ab| já falha para estes valores; a hipótese é, portanto, em geral não verdadeira e a implicação proposta não tem sentido lógico a partir de hipóteses sem sentido.
  • Conclusão desta interpretação: a afirmação, tal como escrita, é falsa ou mal formulada (mistura tipos diferentes). Não existe justificativa válida que deduza uma igualdade entre um conjunto e um número a partir de igualdades semelhantes para pares distintos.

Passo 4

Análise sob a Interpretação B (ambas as notações significam comprimento/distância).
  • Se adotarmos que [x,y] e |xy| são apenas duas notações para a distância entre x e y, então as hipóteses
    [a,b]=|ab|,\qquad [b,c]=|bc|
    são tautologias (afirmam que duas notações representam a mesma quantidade) e não impõem nenhuma relação nova entre a,b,c. Também a igualdade
    [a,c]=|ac|
    seria, sob essa interpretação, outra tautologia notacional. Nesse sentido estrito a implicação é verdadeira apenas porque todas as três expressões querem dizer a mesma coisa: comprimento de AB, comprimento de BC e comprimento de AC, respectivamente. Mas nesse caso o enunciado é trivial e pouco informativo — é só confundir notações.
  • Portanto, sob esta interpretação a afirmação não é uma propriedade geométrica interessante; é apenas uma declaração de que duas notações coincidem, e então a conclusão também coincide por definição.

Passo 5

Escolhendo a interpretação adequada para responder ao exercício (justificativa do que vou considerar):
  • Em contexto matemático correto costuma-se distinguir entre o segmento (conjunto) e o seu comprimento (número). A forma escrita do enunciado mistura claramente as duas notações, o que indica que o enunciado está, ao menos, mal escrito ou ambíguo.
  • Para dar uma resposta útil para uma prova, a interpretação que faz o enunciado não-trivial e que permite dar um contraexemplo é a Interpretação A (segmento ≠ comprimento). Assim vou concluir que, conforme escrito, a afirmação é falsa (ou mal formulada) porque mistura objetos de tipos diferentes; mostro um exemplo concreto que torna evidente o problema.

Passo 6

Contraexemplo concreto (mostrando falsidade/malformulação):
  • Tome a=0,\; b=1,\; c=2 pontos na reta.
    • O segmento [a,b] é [0,1] (um conjunto).
    • O comprimento |ab| é o número 1.
    • Logo [a,b]\neq|ab| (conjunto diferente de número), então a hipótese do enunciado já é falsa/sem sentido aqui.
  • Mesmo se alguém quisesse forçar as hipóteses a serem “verdadeiras” de algum modo, não existe argumento que, a partir de igualdades envolvendo apenas os pares (a,b) e (b,c), force automaticamente uma igualdade do mesmo tipo para o par (a,c), porque são objetos distintos (ou, se são notações iguais, a afirmação é apenas tautológica). Assim a formulação não permite deduzir uma igualdade legítima entre [a,c] e |ac| sem clarificar o que cada símbolo significa.

Resposta

Falso

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