Calcule a integral usando a integração por partes.
\int\left(x^{2}+2 x\right) \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\left(x^{2}+2x\right)\cos x\,dx
e especifica que devo usar integração por partes. Informações importantes fornecidas:
  • A função a integrar é a soma de dois termos: \left(x^{2}+2x\right)\cos x.
  • Posso separar a integral em duas integrais: \int x^{2}\cos x\,dx e 2\int x\cos x\,dx.
  • O objetivo final é obter uma primitiva explícita, mais uma constante de integração C.

Passo 2

Vamos recordar a fórmula de integração por partes e entendê-la passo a passo. A fórmula vem da regra do produto para derivadas. Se escolhermos duas funções u(x) e v(x), a regra do produto diz:
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados:
\int \frac{d}{dx}\big(u v\big)\,dx=\int u'v\,dx+\int uv'\,dx.
A integral da derivada é simplesmente uv. Rearranjando, obtemos a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde definimos du=u'(x)\,dx e dv=v'(x)\,dx. Aqui:
  • u é uma função que vamos derivar (para obter du);
  • dv é a parte que vamos integrar (para obter v).
    Uma heurística prática (bem útil na prova) é escolher u como a parte polinomial quando houver polinômio multiplicando funções trigonométricas ou exponenciais, porque derivar reduz o grau do polinômio.

Passo 3

Primeiro, separo a integral em duas, porque isso facilita e é permitido:
\int\left(x^{2}+2x\right)\cos x\,dx=\int x^{2}\cos x\,dx + 2\int x\cos x\,dx.
Vou resolver cada integral à parte usando integração por partes.

Passo 4

Calculo primeiro \displaystyle \int x\cos x\,dx. Faço as escolhas:
  • u = x (assim du = dx),
  • dv = \cos x\,dx (assim v = \int \cos x\,dx = \sin x).
    Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx.
Agora integro \sin x:
\int \sin x\,dx = -\cos x,
logo
\int x\cos x\,dx = x\sin x - (-\cos x) = x\sin x + \cos x + C_1,
onde C_1 é uma constante que vou absorver no final. Para uso posterior, guardo:
\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C.

Passo 5

Agora calculo \displaystyle \int x^{2}\cos x\,dx. Faço integração por partes escolhendo:
  • u = x^{2} (então du = 2x\,dx),
  • dv = \cos x\,dx (então v = \sin x).
    Aplicando a fórmula:
\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x - \int \sin x \cdot 2x\,dx = x^{2}\sin x - 2\int x\sin x\,dx.
Agora preciso calcular \int x\sin x\,dx. Faço outra integração por partes nesse integral: escolho
  • u = x (então du = dx),
  • dv = \sin x\,dx (então v = \int \sin x\,dx = -\cos x).
    Aplicando:
\int x\sin x\,dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x)\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx.
E \int \cos x\,dx = \sin x. Logo
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C_2.
Volto para \int x^{2}\cos x\,dx:
\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x - 2\big(-x\cos x + \sin x\big) + C.
Distribuindo o -2:
\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C.

Passo 6

Agora somo os dois resultados obtidos (lembrando do fator 2 no segundo termo original):
\int\left(x^{2}+2x\right)\cos x\,dx = \big(x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x\big) + 2\big(x\sin x + \cos x\big) + C.
Expando e agrupo termos semelhantes:
= x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + 2x\sin x + 2\cos x + C.
Agrupando as partes com \sin x e com \cos x:
\text{termos com }\sin x: \; x^{2}\sin x + 2x\sin x - 2\sin x = (x^{2}+2x-2)\sin x,
\text{termos com }\cos x: \; 2x\cos x + 2\cos x = 2(x+1)\cos x.
Portanto a primitiva simplificada é
(x^{2}+2x-2)\sin x + 2(x+1)\cos x + C.

Resposta

(x^{2}+2x-2)\sin x + 2(x+1)\cos x + C

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