Calcule a integral usando a integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
e especifica que devo usar integração por partes. Informações importantes fornecidas:
- A função a integrar é a soma de dois termos:
. - Posso separar a integral em duas integrais:
e . - O objetivo final é obter uma primitiva explícita, mais uma constante de integração
.
Passo 2
Vamos recordar a fórmula de integração por partes e entendê-la passo a passo. A fórmula vem da regra do produto para derivadas. Se escolhermos duas funções
e
, a regra do produto diz:
Integrando ambos os lados:
A integral da derivada é simplesmente
. Rearranjando, obtemos a fórmula de integração por partes:
onde definimos
e
. Aqui:
-
é uma função que vamos derivar (para obter ); -
é a parte que vamos integrar (para obter ).
Uma heurística prática (bem útil na prova) é escolhercomo a parte polinomial quando houver polinômio multiplicando funções trigonométricas ou exponenciais, porque derivar reduz o grau do polinômio.
Passo 3
Primeiro, separo a integral em duas, porque isso facilita e é permitido:
Vou resolver cada integral à parte usando integração por partes.
Passo 4
Calculo primeiro
. Faço as escolhas:
-
(assim ), -
(assim ).
Aplicando a fórmula:
Agora integro
:
logo
onde
é uma constante que vou absorver no final. Para uso posterior, guardo:
Passo 5
Agora calculo
. Faço integração por partes escolhendo:
-
(então ), -
(então ).
Aplicando a fórmula:
Agora preciso calcular
. Faço outra integração por partes nesse integral: escolho
-
(então ), -
(então ).
Aplicando:
E
. Logo
Volto para
:
Distribuindo o
:
Passo 6
Agora somo os dois resultados obtidos (lembrando do fator 2 no segundo termo original):
Expando e agrupo termos semelhantes:
Agrupando as partes com
e com
:
Portanto a primitiva simplificada é