Calcule a integral usando a integração por partes:
\int t \operatorname{sen}(3 t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int t\,\sin(3t)\,dt
usando o método de integração por partes. O conteúdo aqui é a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
onde vamos escolher funções u e dv de modo a simplificar a integral.

Passo 2

Escolhemos
u = t \quad\text{e}\quad dv = \sin(3t)\,dt.
Essa escolha é conveniente porque du=dt simplifica, e dv é fácil de integrar.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = dt,
v = \int \sin(3t)\,dt = -\frac{1}{3}\cos(3t).

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
\int t\,\sin(3t)\,dt = u\,v - \int v\,du = -\frac{t}{3}\cos(3t) - \int \Bigl(-\frac{1}{3}\cos(3t)\Bigr)\,dt.
Isso simplifica para
-\frac{t}{3}\cos(3t) +\frac{1}{3}\int \cos(3t)\,dt.

Passo 5

Calculamos a integral remanescente:
\int \cos(3t)\,dt = \frac{1}{3}\sin(3t).
Substituindo, obtemos
\int t\,\sin(3t)\,dt = -\frac{t}{3}\cos(3t) +\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\sin(3t) + C = -\frac{t}{3}\cos(3t) +\frac{1}{9}\sin(3t) + C.

Resposta

-\frac{t}{3}\cos(3t) + \frac{1}{9}\sin(3t) + C

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