Calcule a integral usando a integração por partes:
\int t \operatorname{cosh} t d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int t \operatorname{cosh} t \, dt
usando o método de integração por partes. Vamos aplicar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
escolhendo funções u e dv de forma a simplificar o cálculo.

Passo 2

Escolhemos
u = t \quad\text{e}\quad dv = \operatorname{cosh} t \, dt.
Então calculamos
du = dt \quad\text{e}\quad v = \int \operatorname{cosh} t \, dt = \operatorname{sinh} t.
Substituindo na fórmula de partes, obtemos
\int t \operatorname{cosh} t \, dt = t \,\operatorname{sinh} t - \int \operatorname{sinh} t \, dt.

Passo 3

Agora precisamos calcular a integral restante
\int \operatorname{sinh} t \, dt.
Sabemos que
\int \operatorname{sinh} t \, dt = \operatorname{cosh} t + C_1.
Portanto
\int t \operatorname{cosh} t \, dt = t \,\operatorname{sinh} t - \operatorname{cosh} t + C_1.

Resposta

\int t \operatorname{cosh} t \, dt = t\,\operatorname{sinh} t - \operatorname{cosh} t + C.

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