Calcule \int_{1}^{e^{5}} \frac{\ln (x)}{x} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{e^{5}} \frac{\ln(x)}{x}\,dx.
O conteúdo aqui é reconhecimento de uma derivada inversa: sabemos que a derivada de (\ln(x))^2 gera um fator \ln(x)/x. Logo, vamos encontrar a antiderivada de \frac{\ln(x)}{x} e depois aplicar os limites.

Passo 2

Faça a substituição
u = \ln(x), \quad du = \frac{1}{x}\,dx.
Com isso, a integral em x vira uma integral em u:
\int \frac{\ln(x)}{x}\,dx = \int u\,du.

Passo 3

Integre em u:
\int u\,du = \frac{u^2}{2} + C.
Voltando a x (ou seja, u=\ln(x)), obtemos a primitiva
F(x) = \frac{(\ln(x))^2}{2}.

Passo 4

Aplique o Teorema Fundamental do Cálculo nos limites de 1 a e^5:
F(e^{5}) - F(1) = \frac{\bigl(\ln(e^{5})\bigr)^2}{2} - \frac{\bigl(\ln(1)\bigr)^2}{2} = \frac{5^2}{2} - 0 = \frac{25}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{25}{2}

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