Mostre que
\int \frac{d x}{\left(x^{2}+\lambda\right)^{2}}=\frac{x}{2 \lambda\left(x^{2}+\lambda\right)}+\frac{1}{2 \lambda} \int \frac{d x}{x^{2}+\lambda}
Sugestão. \int \frac{x}{\left(x^{2}+\lambda\right)^{2}}=\int \frac{\left(x^{2}+\lambda\right) x^{2}}{\left(x^{2}+\lambda\right)^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\int \frac{dx}{(x^{2}+\lambda)^{2}} = \frac{x}{2\lambda\,(x^{2}+\lambda)} +\frac{1}{2\lambda}\int \frac{dx}{x^{2}+\lambda}.
O conteúdo aqui é integração de função racional pelo uso de uma derivada conveniente: vamos usar que a derivada de \dfrac{x}{x^{2}+\lambda} gera um numerador próximo a \dfrac{1}{(x^{2}+\lambda)^{2}}.

Passo 2

Calculemos a derivada
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{x^{2}+\lambda}\Bigr) = \frac{1\cdot(x^{2}+\lambda)-x\cdot 2x}{(x^{2}+\lambda)^{2}} = \frac{\lambda - x^{2}}{(x^{2}+\lambda)^{2}}.

Passo 3

Observe que podemos decompor
\frac{1}{(x^{2}+\lambda)^{2}} = \frac{1}{2\lambda}\,\frac{2\lambda}{(x^{2}+\lambda)^{2}} = \frac{1}{2\lambda}\,\frac{\bigl(\lambda - x^{2}\bigr)+\bigl(\lambda + x^{2}\bigr)}{(x^{2}+\lambda)^{2}}.
Mas
\frac{\lambda - x^{2}}{(x^{2}+\lambda)^{2}} =\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{x^{2}+\lambda}\Bigr), \qquad \frac{\lambda + x^{2}}{(x^{2}+\lambda)^{2}} =\frac{1}{x^{2}+\lambda}.
Logo
\frac{1}{(x^{2}+\lambda)^{2}} = \frac{1}{2\lambda}\, \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{x^{2}+\lambda}\Bigr) + \frac{1}{2\lambda}\,\frac{1}{x^{2}+\lambda}.

Passo 4

Integramos os dois lados em x:
\int \frac{dx}{(x^{2}+\lambda)^{2}} = \frac{1}{2\lambda}\int \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{x^{2}+\lambda}\Bigr)\,dx + \frac{1}{2\lambda}\int \frac{dx}{x^{2}+\lambda}.
A primeira integral é imediata:
\int \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{x^{2}+\lambda}\Bigr)\,dx =\frac{x}{x^{2}+\lambda}.

Passo 5

Reunindo tudo:
\int \frac{dx}{(x^{2}+\lambda)^{2}} = \frac{1}{2\lambda}\,\frac{x}{x^{2}+\lambda} +\frac{1}{2\lambda}\int \frac{dx}{x^{2}+\lambda},
que é exatamente o que se queria demonstrar.

Resposta

\int \frac{dx}{(x^{2}+\lambda)^{2}} = \frac{x}{2\lambda\,(x^{2}+\lambda)} +\frac{1}{2\lambda}\int \frac{dx}{x^{2}+\lambda}.

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