Calcule a integral usando a integração por partes.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando o método de integração por partes. Esse método faz parte do conteúdo de técnicas de integração, e vamos precisar da fórmula geral da integração por partes, que vem da regra do produto na diferenciação.
Passo 2
A seguir precisamos escolher em
quais partes serão
e
. Uma escolha natural é colocar o polinômio como
e a exponencial como
:
Passo 3
Agora calculamos
e
. Diferenciando
temos
Para obter
, integramos
:
Como
, a integral é
Passo 4
Aplicamos então a fórmula de integração por partes:
Substituindo nossas escolhas:
Agora basta calcular a integral restante. Como antes, temos
logo
Passo 5
Reunindo os termos e incluindo a constante de integração
, obtemos:
Podemos ainda fatorar
se quisermos uma forma mais enxuta.
Resposta
2e^{r/2}(r-2) + C