Calcule a integral usando a integração por partes.
integral r e^r / 2 d r.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral r,e^r/2,dr usando o método de integração por partes. Esse método faz parte do conteúdo de técnicas de integração, e vamos precisar da fórmula geral da integração por partes, que vem da regra do produto na diferenciação.

Passo 2

A seguir precisamos escolher em integral u,dv quais partes serão u e dv. Uma escolha natural é colocar o polinômio como u e a exponencial como dv:
u = r, dv = e^r/2,dr

Passo 3

Agora calculamos du e v. Diferenciando u=r temos
du = dr
Para obter v, integramos dv:
v = integral e^r/2,dr
Como ddr(e^r/2)=tfrac12 e^r/2, a integral é
v = 2e^r/2

Passo 4

Aplicamos então a fórmula de integração por partes:
integral u,dv = u,v - integral v,du
Substituindo nossas escolhas:
integral r,e^r/2,dr = rcdot(2e^r/2) - integral 2e^r/2,dr
Agora basta calcular a integral restante. Como antes, temos
integral e^r/2,dr = 2e^r/2,
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integral 2e^r/2,dr = 4e^r/2

Passo 5

Reunindo os termos e incluindo a constante de integração +C), obtemos:
integral r,e^r/2,dr = 2r e^r/2 - 4e^r/2 + C
Podemos ainda fatorar 2e^r/2 se quisermos uma forma mais enxuta.

Resposta

2e^{r/2}(r-2) + C

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